Koronavírus és matematikaoktatás – részben megrendelt gyűjtemények

A minket sújtó vírus gyors oktatási reformot hajt végre. különösen az oktatás magasabb szintjein. Ebben a témában lehet hosszabb esszét írni, minden bizonnyal a távoktatás módszertanáról készülnek majd doktori értekezések. Bizonyos szempontból ez a visszatérés a gyökerekhez és az önálló tanulás elfeledett szokásaihoz. Így volt ez például a Kremenyec középiskolában (a mai Ukrajnában található Kremenyecben, amely 1805-31-ben létezett, 1914-ig vegetált, és 1922-1939-ben élte virágkorát). Ott önállóan tanultak a diákok - csak a tanulás után jöttek a tanárok a javításokkal, végső pontosításokkal, nehéz helyeken való segítséggel, stb. e) Amikor diák lettem, azt is mondták, hogy magunknak kell tudást szereznünk, hogy csak rendeljünk és küldjünk órákat az egyetemre. De akkor ez csak elmélet volt...

2020 tavaszán nem csak én fedeztem fel, hogy az órák (beleértve az előadásokat, gyakorlatokat stb.) nagyon hatékonyan lebonyolíthatóak távolról (Google Meet, Microsoft Teams stb.), sok munka árán a tanár részéről, másrészről pedig pusztán a „tanulás megszerzése” vágya; de némi kényelemmel is: otthon ülök, a székemben, és a hagyományos előadásokon is gyakran mást csináltak a hallgatók. Az ilyen képzések hatása még jobb lehet, mint a hagyományos, középkorig visszanyúló, osztályos órarendszerrel. Mi marad belőle, ha a vírus a pokolba kerül? Szerintem… elég sokat. De majd meglátjuk.

Ma a részben megrendelt készletekről lesz szó. Ez egyszerű. Mivel egy bináris relációt egy nem üres halmazban X-et parciális rendű relációnak nevezzük, ha létezik

(Tadeusz Kotarbinski, 1886-1981, filozófus,

1957–1962-ben a Lengyel Tudományos Akadémia elnöke).

1. Reflexív, azaz minden ∈-hez van ",
2. Járókelő, i.e. ha ", és ", akkor ",
3. Félig aszimmetrikus, pl («∧«)→ egyenlő jel

A karakterlánc a következő tulajdonsággal rendelkező halmaz: bármely két elem esetén ez a halmaz "vagy y". Az Antichain...

Állj Állj! Érthető ebből bármi? Persze hogy az. De vajon az Olvasók közül valaki (mást tudva) megértette már, hogy mi van itt?

Nem hiszem! És ez a matematikatanítás kánonja. Iskolában is. Először is egy tisztességes, szigorú meghatározás, aztán, aki nem aludt el az unalomtól, az biztosan megért valamit. Ezt a módszert a „nagy” matematikatanárok kényszerítették ki. Óvatosnak és szigorúnak kell lennie. Igaz, hogy ennek így kell lennie a végén. A matematikának egzakt tudománynak kell lennie (Lásd még: ).

Be kell vallanom, hogy az egyetemen, ahol a Varsói Egyetem nyugdíjazása után dolgozom, én is tanítottam annyi éven át. Csak benne volt a hírhedt vödör hidegvizes (legyen ez így: kellett egy vödör!). Hirtelen a magas absztrakció könnyűvé és kellemessé vált. Figyelem: a könnyű nem azt jelenti, hogy könnyű. A light boxernek is nehéz dolga van.

Az emlékeimre mosolygok. A matematika alapjaira a tanszék akkori dékánja, egy első osztályú matematikus tanított, aki éppen akkor érkezett egy hosszú amerikai tartózkodásról, ami akkoriban már önmagában is rendkívüli volt. Azt hiszem, kicsit sznob volt, amikor egy kicsit elfelejtette a lengyel nyelvet. Visszaélt a régi lengyel „mi”, „ezért”, „azálea” kifejezésekkel, és megalkotta a „félaszimmetrikus kapcsolat” kifejezést. Nagyon szeretem használni, nagyon pontos. Szeretem. De ezt nem követelem meg a hallgatóktól. Ezt általában "alacsony antiszimmetriának" nevezik. Tíz gyönyörű.

Nagyon régen, mert a hetvenes években (a múlt században) nagy, örömteli reform volt a matematikatanításban. Ez egybeesett Eduard Gierek uralkodása rövid időszakának kezdetével - országunk bizonyos megnyitásával a világ felé. „A gyerekeket magasabb matematikára is meg lehet tanítani” – kiáltottak fel a Nagy Tanítók. A „Matematika alapjai” című egyetemi előadás összefoglalóját gyerekeknek állítottuk össze. Ez a tendencia nemcsak Lengyelországban, hanem egész Európában volt. Az egyenlet megoldása nem volt elég, minden részletet meg kellett magyarázni. Annak érdekében, hogy ne legyen alaptalan, mindegyik Olvasó meg tudja oldani az egyenletrendszert:

de a tanulóknak minden lépést meg kellett indokolniuk, hivatkozniuk kellett a vonatkozó állításokra stb. Ez a forma klasszikus túlzása volt a tartalommal szemben. Könnyű most kritizálnom. Egykor én is támogattam ezt a megközelítést. Izgalmas... azoknak a fiataloknak, akik szenvedélyesek a matematika iránt. Ez természetesen volt (és a figyelem kedvéért én is).

De elég kitérő, térjünk a tárgyra: egy előadás, amelyet "elméletileg" a Műszaki Egyetem másodéves hallgatóinak szántak, és ha ő nem, száraz lett volna, mint a kókuszpehely. kicsit túlzok...

Jó reggelt neked. A mai téma a részleges takarítás. Nem, ez nem utal a gondatlan takarításra. A legjobb összehasonlítás az lenne, ha megfontolnánk, melyik a jobb: paradicsomleves vagy krémsütemény. A válasz egyértelmű: attól függően, hogy mitől. Desszertnek - süti, tápláló ételhez: leves.

A matematikában számokkal foglalkozunk. Rendezettek: nagyobbak és kisebbek, de két különböző számból az egyik mindig kisebb, ami azt jelenti, hogy a másik nagyobb. Sorrendben vannak elrendezve, mint az ábécé betűi. Az osztálynaplóban a sorrend a következő lehet: Adamcsik, Baginszkaja, Khoinitsky, Derkovsky, Elget, Filipov, Gzhechnik, Kholnitsky (ők barátok és osztálytársak az osztályomból!). Nincs kétségünk afelől, hogy Matusyak "Matushelyansky" Matushevsky "Matisyak. A „kettős egyenlőtlenség” szimbólum jelentése „előtte”.

Az én utazási klubomban igyekszünk betűrendessé tenni a listákat, de név szerint például Alina Wrońska "Warvara Kaczarska", Cesar Bouschitz stb. A hivatalos nyilvántartásokban a sorrend fordított lenne. A matematikusok az ábécé sorrendjét lexikografikusnak nevezik (a lexikon többé-kevésbé olyan, mint egy szótár). Másrészt egy olyan sorrend, amelyben egy két részből álló névben (Michal Shurek, Alina Wronska, Stanislav Smazhinsky) először a második részt nézzük, a matematikusok számára lexikográfiaellenes rend. Hosszú címek, de nagyon egyszerű tartalom.

1. Lineáris sorrend: az 1899-ben épült Podhalei Habovka-Zakopane vasút állomásai és megállói (a rövidítések dekódolását az olvasóra bízom).

Minden ilyen rendelést sorrendelésnek nevezünk. Sorra rendeljük: első, második, harmadik. Minden rendben van, az első ponttól az utolsóig. Nem mindig van értelme. Hiszen a könyvtárban nem így, hanem szekciókba rendezzük a könyveket. Csak az osztályon belül lineárisan (általában ábécé sorrendben) rendezzük.

2. Lineáris sorrend: az autó motorjának indításakor a műveleteket következetes sorrendben hajtjuk végre.

Nagyobb projekteknél, főleg csapatmunkában, már nincs lineáris sorrend. Nézzük ábra. 3. Egy kis szállodát szeretnénk építeni. Már van pénzünk (0. cella). Kiállítjuk az engedélyeket, begyűjtjük az anyagokat, elkezdjük az építkezést, ugyanakkor reklámkampányt végzünk, munkatársakat keresünk, stb. Amikor elérjük a 10-et, az első vendégek bejelentkezhetnek (példa Dombrowski úr és Krakkó külvárosában található kis szállodájuk történetéből). Nekünk van nemlineáris sorrend – néhány dolog történhet párhuzamosan is.

A közgazdaságtanban megismerheti a kritikus út fogalmát. Ez azoknak a műveleteknek a halmaza, amelyeket szekvenciálisan kell végrehajtani (és ezt a matematikában láncnak nevezik, erről egy pillanat alatt), és amelyek a legtöbb időt veszik igénybe. Az építési idő csökkentése a kritikus út átszervezése. De erről bővebben más előadásokon (emlékeztem, hogy „egyetemi előadást” olvasok). A matematikára koncentrálunk.

A 3. ábrához hasonló diagramokat Hasse-diagramoknak nevezik (Helmut Hasse, német matematikus, 1898–1979). Minden összetett erőfeszítést így kell megtervezni. A műveletek sorozatait látjuk: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. A matematikusok húroknak hívják őket. Az egész ötlet négy láncból áll. Ezzel szemben az 1-2-3-4, 5-6-7 és 8-9 aktivitási csoportok antiláncok. Így hívják őket. A helyzet az, hogy egy adott csoportban egyik művelet sem függ az előzőtől.

4. Ez is egy Hasse-diagram.

menjünk-hoz 4. ábra. Mi a lenyűgöző? De lehet egy metrótérkép valamelyik városban! A földalatti vasutak mindig vonalakba vannak csoportosítva - nem mennek át egyikről a másikra. A sorok külön sorok. ábra városában. 4 van sütő sor (ne feledje sütő „boldem”-nek írják – lengyelül félvastagnak nevezik).

Ezen a diagramon (4. ábra) van egy rövid sárga ABF, egy hat állomásos ACFPS, egy zöld ADGL, egy kék DGMRT és a leghosszabb piros. A matematikus azt fogja mondani: ez a Hasse-diagram rendelkezik sütő láncok. A piros vonalon van hét állomás: AEINRUW. Mi a helyzet az antiláncokkal? Ott vannak hét. Az olvasó már észrevette, hogy duplán aláhúztam a szót hét.

Antichain ez egy olyan állomáskészlet, hogy átszállás nélkül lehetetlen eljutni egyikről a másikra. Ha egy kicsit "értjük", a következő antiláncokat fogjuk látni: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​​​SR. Kérjük, ellenőrizze például, hogy egyik BCLTV állomásról sem lehet másik BCTLV-re utazni átszállás nélkül, pontosabban: anélkül, hogy vissza kellene térni az alább látható állomásra. Hány antilánc van? hét. Mekkora a legnagyobb? Süt (ismét vastagon szedve).

Képzelhetitek, diákok, hogy ezeknek a számoknak az egybeesése nem véletlen. Ez. Ezt Robert Palmer Dilworth (1950–1914, amerikai matematikus) fedezte fel és bizonyította (vagyis mindig így volt) 1993-ben. A teljes halmaz lefedéséhez szükséges sorok száma megegyezik a legnagyobb antilánc méretével, és fordítva: az antiláncok száma megegyezik a leghosszabb antilánc hosszával. Ez mindig így van a részben megrendelt készletben, pl. ami vizualizálható. Hassego diagram. Ez nem egészen szigorú és helyes meghatározás. Ezt nevezik a matematikusok „működő definíciónak”. Ez némileg eltér a "munkadefiníciótól". Ez egy tipp a részben rendezett készletek megértéséhez. Ez minden képzés fontos része: nézze meg, hogyan működik.

Az angol rövidítés: - ez a szó gyönyörűen hangzik a szláv nyelveken, kicsit úgy, mint egy bogáncs. Vegye figyelembe, hogy a bogáncs is elágazó.

Nagyon szép, de kinek kell ez? Nektek, kedves hallgatók, szüksége van rá a sikeres vizsgához, és ez valószínűleg elég jó ok a tanulmányozására. Figyelek, milyen kérdések? Hallgatom, uram az ablak alól. Ó, a kérdés az, hogy ez valaha is hasznos lesz az Úrnak az életedben? Lehet, hogy nem, de egy nálad okosabbnak biztosan... Esetleg kritikus útelemzésre egy komplex gazdasági projektben?

Június közepén írom ezt a szöveget, a Varsói Egyetemen folynak a rektorválasztások. Olvastam több megjegyzést internetezőktől. Meglepően sok a gyűlölet (vagy „gyűlölet”) a „művelt emberek” iránt. Valaki egyenesen azt írta, hogy az egyetemi végzettségűek kevesebbet tudnak, mint az egyetemi végzettségűek. Természetesen nem megyek bele a vitába. Csak az a szomorúság, hogy a Lengyel Népköztársaságban visszatér az a kialakult vélemény, hogy kalapáccsal és vésővel mindent meg lehet csinálni. Visszatérek a matematikához.

Dillworth tétele számos érdekes alkalmazással rendelkezik. Az egyiket házassági tételként ismerik.ábra. 6). 

Van egy csoport nők (inkább lányok) és egy kicsit nagyobb csoport férfiak. Minden lány így gondolkodik: "Ezt feleségül vehetném egy másikért, de soha életemben egy harmadikért." És így tovább, mindenkinek megvannak a saját preferenciái. Rajzolunk egy diagramot, amely mindegyikhez vezet egy nyilat attól a sráctól, akit nem utasít el, mint oltárjelöltet. K: Össze lehet hozni a párokat úgy, hogy mindegyik olyan férjet találjon, akit elfogad?

Philip Hall tétele, azt mondja, hogy ez megtehető - bizonyos feltételek mellett, amiről itt nem térek ki (majd a következő előadáson kérem a hallgatókat). Megjegyzendő azonban, hogy a férfi elégedettségről itt egyáltalán nem esik szó. Tudniillik a nők választanak minket, és nem fordítva, ahogy nekünk tűnik (emlékeztem arra, hogy szerző vagyok, nem író).

Valami komoly matek. Hogyan következik Hall tétele Dilworth-ből? Ez nagyon egyszerű. Nézzük újra a 6. ábrát. Az ott található láncok nagyon rövidek: 2 hosszúak (irányban futnak). A kisemberek halmaza antilánc (pontosan azért, mert a nyilak csak felé irányulnak). Így az egész kollekciót annyi antilánccal boríthatod be, ahány férfi. Tehát minden nőnél lesz egy nyíl. És ez azt jelenti, hogy olyan srácnak tűnhet, akit elfogad!!!

Várj, valaki megkérdezi, ennyi? Ez mind alkalmazás? A hormonok valahogy kijönnek egymással, és miért a matematika? Először is, ez nem az egész alkalmazás, hanem csak egy nagy sorozatból. Nézzük meg az egyiket. A (6. ábra) ne a jobbik nem képviselőit értse, hanem inkább prózai vásárlókat, ezek pedig márkák, például autók, mosógépek, fogyókúrák, utazási irodai ajánlatok stb. Minden vásárlónak vannak márkái, amelyeket elfogad és elutasítja. Lehet tenni valamit, hogy mindenkinek eladjon valamit, és hogyan? Itt nem csak a poénok érnek véget, hanem a cikk szerzőjének ismerete is ebben a témában. Annyit tudok, hogy az elemzés meglehetősen összetett matematikán alapul.

A matematika iskolai tanítása algoritmusok tanítása. Ez a tanulás fontos része. De lassan már nem annyira a matematika, mint inkább a matematikai módszer tanulása felé haladunk. A mai előadás éppen erről szólt: absztrakt mentális konstrukciókról beszélünk, a mindennapi életről gondolkodunk. Láncokról és antiláncokról beszélünk inverz, tranzitív és egyéb relációkkal rendelkező halmazokban, amelyeket az eladó-vevő modellekben használunk. A számítógép elvégzi helyettünk az összes számítást. Egyelőre nem fog matematikai modelleket alkotni. Még mindig nyerünk a gondolkodásunkkal. Mindenesetre remélhetőleg minél tovább!