Oszd félbe - háromszögek és négyzetek
Eljött hozzánk az új év, 2019. Ez nem prímszám. A számjegyek összege 2 + 0 + 1 + 9 = 12, ami azt jelenti, hogy a szám osztható 3-mal. Egy prímszámra sokáig, 2027-ig várni kell. Ennek az epizódnak azonban nagyon kevés olvasója éli át a huszonkettedik századot. De minden bizonnyal ilyenek ebben a világban, különösen a szép nem. Féltékeny vagyok? Nem igazán... De a matematikáról muszáj írnom. Az utóbbi időben egyre többet írok az alapfokú oktatásról.
Felosztható-e a kör? két egyenlő fele? Egyértelműen. Hogy hívják azokat az alkatrészeket, amelyeket kapsz? Igen, fél kör. Ha egy kört egy vonallal osztunk fel (egy vágással), szükséges-e egy vonalat húzni a kör közepén? Igen. Vagy talán nem? Ne feledje, hogy ez egy vágás, egy egyenes vonal.
Meg van győződve arról, hogy mindenki a kör közepén áthaladó egyenes egyenlő részekre osztja őket? Meg van győződve arról, hogy ahhoz, hogy a kört egy egyenes egyenlő részeire oszthassa, át kell húznia a közepén?
Igazold a hitedet. És mit jelent az "indokolni"? A matematikai bizonyítás különbözik a jogi értelemben vett „bizonyítástól”. Az ügyvédnek meg kell győznie a bírót, és így kényszerítenie kell a Legfelsőbb Bíróságot annak megállapítására, hogy az ügyfél ártatlan. Számomra mindig is elfogadhatatlan volt: mennyire múlik a vádlott sorsa a „papagáj” ékesszólásán (így jellemezzük kicsit lekicsinylően az ügyvédet).
Egy matematikusnak a hit önmagában nem elég. A bizonyításnak formálisnak kell lennie, a tézisnek pedig az utolsó képletnek kell lennie a feltevésből származó logikai sorrendben. Ez egy meglehetősen összetett koncepció, amelyet szinte lehetetlen megvalósítani a mindennapi életben.
Talán jobb is így: a "matematikai logikán" alapuló perek és ítéletek csak... lelketlenek lennének. Nyilván ez egyre gyakrabban történik meg. De én csak ó.
Még az egyszerű dolgok hivatalos bizonyítása is nehézségeket okozhat. Hogyan lehet bizonyítani mindkét nézetet a kör felosztásáról? Minél könnyebb először minden középponton áthaladó egyenes a kört két egyenlő részre osztja.
Mondhatjuk így: forgassuk el az 1. ábra ábráját 180 fokkal. Ekkor a zöld mező kékre, a kék pedig zöldre vált. Ezért egyenlő négyzetekkel kell rendelkezniük. Ha nem a középponton keresztül húz egy vonalat, akkor az egyik mező egyértelműen kisebb lesz.
Háromszögek és négyzetek
Szóval folytassuk szögletes. Nálunk ugyanaz van, mint:
- a négyzet közepén áthaladó minden egyenes két egyenlő részre osztja?
- Ha egy egyenes egy négyzetet két egyenlő részre oszt, át kell haladnia a négyzet közepén?
Biztosak vagyunk ebben? Más a helyzet, mint a keréknél (2-7).
menjünk-hoz egyenlő oldalú háromszög. Hogyan vágod félbe? Egyszerű - csak vágja le a tetejét és merőleges az alapra (8).
Emlékeztetlek arra, hogy egy háromszög alapja lehet bármelyik oldala, még a ferde oldal is. A vágás áthalad a háromszög közepén. Felezi-e a háromszög középpontján átmenő egyenes?
Nem! Lásd az ábrát. 9. A színes háromszögek mindegyikének azonos a területe (miért?), tehát a nagy háromszög tetején négy, az alsó részén öt. A mezők aránya nem 1:1, hanem 4:5.
Mi van, ha az alapot mondjuk négy részre osztjuk és egyenlő oldalú háromszöget osztunk átvágni a közepén és átvágni egy ponton az alap negyedében? Olvasó, látja, hogy a 10. ábrán a "türkiz" háromszög területe a teljes háromszög területének 9/20-a? Nem látsz? Kár, ezt rád bízom.
Első kérdés - magyarázd el, hogy van: négy egyenlő részre osztom az alapot, húzok egy egyenest az osztási ponton és a háromszög középpontján, és a szemközti oldalon furcsa osztást kapok, 2: 3 arányban? Miért? ki tudod számolni?
Vagy talán Ön, Olvasó, idén érettségizett? Ha igen, akkor határozza meg, hogy a sorok melyik pozíciójában minimális a mezők aránya? Nem tudod? Nem azt mondom, hogy most azonnal javítsd meg. Két órát adok.
Ha nem oldja meg, akkor... hát mindenesetre sok sikert a középiskolai záróvizsgához. Erre a témára még visszatérek.
Ébredjen függetlenség
- Meg lehet lepődni? Ez a címe annak a könyvnek, amelyet nagyon régen adott ki a Delta magazin matematikai, fizikai és csillagászati havilap. Vessen egy pillantást a körülötted lévő világra. Miért vannak homokos fenekű folyók (végül is azonnal fel kell szívni a vizet!).
Miért úsznak a felhők a levegőben? Miért repül a gép? (azonnal le kell esnie). Miért van néha melegebb a hegyekben a csúcsokon, mint a völgyekben? Miért van a nap északon délben a déli féltekén? Miért egyenlő a befogó négyzeteinek összege a befogó négyzetével? Miért tűnik úgy, hogy a test fogyni kezd, ha vízbe merítjük, mivel az kiszorítja a vizet?
Kérdések, kérdések, kérdések. Nem mindegyik alkalmazható azonnal a mindennapi életben, de előbb-utóbb az lesz. Tisztában vagy az utolsó kérdés fontosságával (az elmerült test által kiszorított vízről)? Az idős úr ezt felismerve meztelenül rohangált a városban, és azt kiabálta: "Eureka, megtaláltam!" Nemcsak a fizikai törvényt fedezte fel, hanem azt is bebizonyította, hogy Heron király ékszerésze hamisító!!! Lásd a részleteket az internet mélyén.
Most nézzünk más formákat.
Hatszög (11-14). Felezi-e a középpontján átmenő egyenes? A hatszöget felező egyenesnek át kell mennie a középpontján?
Mit szólsz ötszög (15, 16)? Nyolcszög (17)? És azért ellipszisek (18)?
Az iskolatudomány egyik hiányossága, hogy „a tizenkilencedik században” tanítunk – adunk a tanulóknak egy problémát, és elvárjuk tőlük annak megoldását. Mi a rossz benne? Semmit - csak azt, hogy néhány éven belül diákunknak nem csak a valakitől „kapott” parancsokra kell reagálnia, hanem látnia kell a problémákat, feladatokat kell megfogalmaznia, olyan területen kell eligazodnia, ahová még senki sem jutott el.
Olyan idős vagyok, hogy ilyen stabilitásról álmodom: "Tanulj, János, csinálj cipőt, és életed végéig cipészként fogsz dolgozni." Az oktatás, mint átmenet a legmagasabb kasztba. Érdeklődni élete végéig.
De annyira "modern" vagyok, hogy tudom, hogy olyan szakmákra kell felkészítenem a diákjaimat, amelyek... még nem léteznek. A legjobb, amit tehetek és tehetek, hogy megmutatom a hallgatóknak: MEGVÁLTOZTATOD MAGAD? Még az elemi matematika szintjén is.
Lásd még:
