Miért nem osztunk nullával?

Az olvasók elgondolkodhatnak azon, hogy miért szentelek egy egész cikket egy ilyen banális kérdésnek? Az ok az elképesztő számú diák (!) véletlenül végzi a név alatt a műveletet. És nem csak a diákok. Néha tanárokat is elkapok. Mire lesznek képesek az ilyen tanárok diákjai matematikából? A szöveg megírásának közvetlen oka egy tanárral folytatott beszélgetés volt, akinek a nullával való osztás nem jelentett problémát...

Nullával igen, leszámítva a semmi gondját, mert a mindennapi életben nem igazán kell használnunk. Nem megyünk bevásárolni nulla tojásért. A „egy ember van a szobában” valahogy természetesnek hangzik, a „nulla ember” pedig mesterségesnek hangzik. A nyelvészek azt mondják, hogy a nulla kívül esik a nyelvi rendszeren.

A nulla nélkül is megtehetjük a bankszámlákon: csak használjunk - mint a hőmérőn - a pirosat és a kéket pozitív és negatív értékekhez (megjegyzendő, hogy hőmérséklet esetén természetes a piros a pozitív számok, bankszámláknál pedig ez fordítva, mert a terhelésnek figyelmeztetést kell kiváltania, ezért a piros erősen ajánlott).

A nulla természetes számként való felvételével érintjük a differenciálódás problémáját tőszámnevek od háztartás. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,…

a szám hatványa megegyezik annak a helynek a számával, ahol áll. Ellenkező esetben már a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, .... sorrendben van.

A második helyen az egytagú halmazok száma, a harmadik helyen a két elemű halmazok száma áll, és így tovább. Meg kell magyaráznunk, hogy például miért nem a nulláról számozzuk a versenyzők helyezéseit a versenyeken. Ekkor az első helyezett ezüstérmet kapott (az arany a nulladik lett), és így tovább. Valahogy hasonló eljárást alkalmaztak a futballban is – nem tudom, tudják-e az Olvasók, hogy a „league one” azt jelenti, hogy „ a legjobbat követve." “, és a nulla ligát úgy hívják, hogy „nagy ligává” váljon.

Néha halljuk azt az érvet, hogy a nulláról kell kezdeni, mert az informatikusok számára kényelmes. Folytatva ezeket a megfontolásokat, módosítani kell a kilométer definícióját - 1024 m legyen, mert ennyi a bájtok száma egy kilobájtban (utalok egy informatikusok által ismert viccre: „Mi a különbség a gólya és a informatikus hallgató és e kar ötödéves hallgatója? hogy egy kilobájt 1000 kilobájt, az utolsó - hogy egy kilométer 1024 méter")!

Egy másik, már komolyan veendő nézőpont a következő: mindig a nulláról mérünk! Elég ránézni bármilyen mérlegre a vonalzón, háztartási mérlegen, akár az órán is. Mivel nulláról mérünk, és a számlálás felfogható dimenzió nélküli mértékegységgel történő mérésnek, ezért nullától kell számolni.

Egyszerű a dolog, de...

Hagyjuk az általános érvelést, és térjünk vissza a nullával való osztáshoz. A dolog egyszerű, és egyszerű lenne, ha nem… akkor mi van? Gondolkozzunk és próbálkozzunk. Mennyi lehet – egy osztva nullával? Nézzük: 1/0 = x. Szorozzuk meg mindkét oldalt a bal oldal nevezőjével.

1=0-t kapunk. Valami nem stimmel! Mi történt? Ah hiszem! Az a feltevés, hogy létezik egység és nulla hányadosa, ellentmondáshoz vezet. És ha az egyik nem osztható nullával, akkor egy másik szám igen. Ha, Olvasó, megvonja a vállát, és azon töpreng, hogy a szerző (vagyis én) miért ír ilyen közhelyekről, akkor... nagyon örülök!

A 0/0 = 0 képlet makacsul kivédhető, de ellentmond annak a szabálynak, hogy egy szám önmagával való osztásának eredménye eggyel egyenlő. Abszolút, de egészen mások az olyan szimbólumok, mint a 0/0, °/° és hasonlók a számításban. Nem jelentenek számot, hanem szimbolikus jelölések bizonyos típusú sorozatok számára.

Egy elektrotechnikai könyvben találtam egy érdekes összehasonlítást: a nullával való osztás ugyanolyan veszélyes, mint a nagyfeszültségű elektromosság. Ez normális: Ohm törvénye kimondja, hogy a feszültség és az ellenállás aránya egyenlő az áramerősséggel: V = U / R. Ha az ellenállás nulla lenne, elméletileg végtelen áram folyna át a vezetőn, és minden lehetséges vezetőt elégetne.

Egyszer írtam egy verset a nullával való osztás veszélyeiről a hét minden napjára. Emlékszem, hogy a legdrámaibb nap a csütörtök volt, de sajnálom az e téren végzett munkámat.

Amikor elosztasz valamit nullával

Hétfőn nagyon korán

Hét, ami most történt

Máris csúnyán elbuktál.

Amikor kedd délután

A nevezőbe nullát teszel

Akkor megmondom, tévedsz

Rossz matematikus!

Amikor a nullán, a perverzión keresztül,

Szerdán akarsz válni

Sok bajba kerülsz

Széna és víz van a fejedben!

Egy bizonyos Bartek volt velünk.

Ellentmondott a szabályoknak.

Csütörtökön osztható nullával.

Ő már nincs közöttünk!

Ha furcsa vágy kerít hatalmába

Pénteken osszuk el nullával

Őszinte leszek, őszinte leszek:

Rosszul kezdődik ez a hétvége.

Amikor nulla, valahol szombaton

Az elválasztó a tiéd lesz (nem félkövér)

Térdelj a templom kerítése alá.

Ez a te feltámadásod.

Akarsz nullát a műszerfal alatt?

Vasárnap ünnepelj

Vigyél krétát, fekete táblát.

Írd: nem osztható nullával!

A nullához az üresség és a semmi társul. Valóban, a matematikához olyan mennyiségként jutott el, amelyet ha bármelyikhez adunk, az nem változtat: x + 0 = x. De most a nulla több más értékben is megjelenik, leginkább mint skálaindítás. Ha az ablakon kívül nincs sem pozitív hőmérséklet, sem fagy, akkor ... ez nulla, ami nem jelenti azt, hogy egyáltalán nincs hőmérséklet. A nulladik osztályú emlékmű nem az, amit már rég lebontottak, és egyszerűen nem létezik. Éppen ellenkezőleg, valami olyasmi, mint a Wawel, az Eiffel-torony és a Szabadság-szobor.

Nos, a nulla jelentőségét egy pozíciórendszerben nem lehet túlbecsülni. Tudja, Olvasó, hány nulla van Bill Gates bankszámláján? Nem tudom, de a felét szeretném. Bonaparte Napóleon nyilvánvalóan észrevette, hogy az emberek olyanok, mint a nullák: a pozíción keresztül nyernek értelmet. Andrzej Wajda As the Years, As the Days Pass című művében a szenvedélyes művész, Jerzy felrobban: "Philister nulla, nihil, semmi, semmi, nihil, nulla." De a nulla jó is lehet: a „zéró eltérés a normától” azt jelenti, hogy minden jól megy, és csak így tovább!

Térjünk vissza a matematikához. A nullát büntetlenül lehet összeadni, kivonni és szorozni. „Nulla kilogrammot híztam” – mondja Manya Anyának. „És ez érdekes, mert ugyanannyit fogytam” – válaszolja Anya. Szóval együnk meg hat nulla adag fagylaltot hatszor, nem árt nekünk.

Nem oszthatunk nullával, de oszthatunk nullával. Egy tányér nullás galuskát könnyen ki lehet osztani az ételre váróknak. Mennyit kapnak mindegyik?

A nulla nem pozitív vagy negatív. Ez és a szám nem pozitívи nem negatív. Kielégíti az x≥0 és x≤0 egyenlőtlenséget. A „valami pozitív” ellentmondás nem „valami negatív”, hanem „valami negatív vagy nullával egyenlő”. A matematikusok a nyelvi szabályokkal ellentétben mindig azt fogják mondani, hogy valami „egyenlő a nullával”, és nem „nulla”. Ezt a gyakorlatot igazoljuk: ha azt olvassuk, hogy x = 0 "x nulla", akkor x = 1 azt olvassuk, hogy "x egyenlő eggyel", amit le lehet nyelni, de mi van az "x = 1534267"-el? A 0 karakterhez sem rendelhet számértéket⁰sem nullát negatív hatványra emelni. Másrészt tetszés szerint gyökerezhetsz nullával... és az eredmény mindig nulla lesz. 

Exponenciális függvény y = a^x, az a pozitív bázisa soha nem lesz nulla. Ebből következik, hogy nincs nulla logaritmus. Valójában a logaritmusa b bázishoz az a kitevő, amelyre az alapot fel kell emelni, hogy megkapjuk a logaritmusát. A = 0 esetén nincs ilyen mutató, és a nulla nem lehet a logaritmus alapja. A Newton-szimbólum "nevezőjében" szereplő nulla azonban valami más. Feltételezzük, hogy ezek a konvenciók nem vezetnek ellentmondáshoz.

hamis bizonyíték

A nullával való osztás gyakori tárgya a hamis bizonyításoknak, és még tapasztalt matematikusokkal is előfordul. Hadd mondjak két kedvenc példámat. Az első az algebrai. "Bebizonyítom", hogy minden szám egyenlő. Tegyük fel, hogy van két nem egyenlő szám. Ezért az egyik nagyobb, mint a másik, legyen a > b. Tegyük fel, hogy c a különbségük

c \uXNUMXd a - b. Tehát van a - b = c, ahonnan a = b + c.

Ez utóbbi mindkét részét megszorozzuk a - b-vel:

a² – ab = ab + ac – b2 – bc.

Az ak-t balra fordítom, persze emlékszem a jel megváltoztatására:

a² - ab - ac = ab - b2 - bc.

Kizárom a gyakori tényezőket:

A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),

Megosztom, és megvan, amit akartam:

a = b.

És valójában még furcsább, mert azt feltételeztem, hogy a > b, és azt kaptam, hogy a = b. Ha a fenti példában a "csalás" könnyen felismerhető, akkor az alábbi geometriai bizonyításban ez nem olyan egyszerű. Bebizonyítom, hogy... a trapéz nem létezik. A trapéznak nevezett alak nem létezik.

De először tegyük fel, hogy létezik olyan, hogy trapéz (ABCD az alábbi ábrán). Két párhuzamos oldala ("alapja") van. Ezeket az alapokat a képen látható módon nyújtsuk úgy, hogy paralelogrammát kapjunk. Átlói a trapéz másik átlóját szegmensekre osztják, amelyek hosszát x, y, z jelöléssel jelöljük, mint pl. 1. ábra. A megfelelő háromszögek hasonlóságából megkapjuk az arányokat:

ahol meghatározzuk:

Oraz

ahol meghatározzuk:

Vonjuk le az egyenlőség csillagokkal jelölt oldalait:

 Mindkét oldalt x − z-vel lerövidítve – a/b = 1-et kapunk, ami azt jelenti, hogy a + b = 0. De az a, b számok a trapéz alapjainak hosszai. Ha az összegük nulla, akkor ők is nullák. Ez azt jelenti, hogy olyan alak, mint a trapéz, nem létezhet! És mivel a téglalapok, rombuszok és négyzetek is trapézok, akkor kedves Olvasó, nincsenek rombuszok, téglalapok és négyzetek sem ...

Találd ki

Az információ megosztása a legérdekesebb és legnagyobb kihívást jelentő négy alaptevékenység közül. Itt találkozhatunk először egy felnőttkorban oly gyakori jelenséggel: "találd ki a választ, majd ellenőrizd, hogy jól tippeltél-e". Ezt nagyon találóan fejezi ki Daniel K. Dennett („Hogyan tévedjünk?”, How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Varsó, 1997):

Ez a "találgatás" módszere nem zavarja felnőtt életünket - talán azért, mert korán megtanuljuk, és nem nehéz a találgatás. Ideológiailag ugyanez a jelenség fordul elő például a matematikai (teljes) indukcióban. Ugyanitt „kitaláljuk” a képletet, majd ellenőrizzük, hogy a sejtésünk helyes-e. A diákok mindig azt kérdezik: „Honnan tudtuk meg a mintát? Hogyan lehet kivenni?" Amikor a diákok felteszik nekem ezt a kérdést, viccsé változtatom a kérdésüket: "Ezt azért tudom, mert profi vagyok, mert azért fizetnek, hogy tudjam." A diákoknak az iskolában ugyanabban a stílusban lehet válaszolni, csak komolyabban.

gyakorlat. Figyeljük meg, hogy az összeadást és az írásbeli szorzást a legalacsonyabb mértékegységgel kezdjük, az osztást pedig a legmagasabb mértékegységgel.

Két ötlet kombinációja

A matematikatanárok mindig is rámutattak arra, hogy amit felnőttkori szétválasztásnak nevezünk, az két koncepcionálisan eltérő elképzelés egyesülése: ház i elválasztás.

Az első (ház) olyan feladatokban fordul elő, ahol az archetípus:

Oszd-oszd Ezek olyan feladatok, mint:

? (A probléma eredeti stílusát megtartjuk, Julian Zgozalewicz 1892-ben Krakkóban megjelent kézikönyvéből vettük át – a zloty a rajnai zloty, az a pénz, amely a XNUMX. század elejéig forgalomban volt az Osztrák-Magyar Birodalomban).

Most nézzünk meg két problémát a legrégebbi lengyel nyelvű matematikai tankönyv, apja Tomasz Clos (1538). Ez divízió vagy kupé? Úgy oldja meg, ahogy a XNUMX. századi iskolásoknak kell:

(Lengyel-lengyel fordítás: Egy hordóban egy liter és négy fazék van. Egy fazék négy liter. Valaki 20 hordó bort vett 50 zł-ért kereskedelmi célból. Az illeték és az adó (jövedék?) 8 zł lesz. Mennyi a elad egy litert, hogy 8 zł-t keressen?)

Sport, fizika, kongruencia

A sportban néha el kell osztani valamit nullával (gólarány). Nos, a bírók valahogy kezelik. Az absztrakt algebrában azonban napirenden vannak. nem nulla mennyiségekamelynek négyzete nulla. Akár egyszerűen is megmagyarázható.

Tekintsünk egy F függvényt, amely egy pontot (y, 0) társít egy ponthoz a síkban (x, y). Mi az a F², vagyis az F kettős végrehajtása? Nulla függvény - minden pontnak van egy képe (0,0).

Végül a nullától eltérő mennyiségek, amelyek négyzete 0, szinte napi kenyér a fizikusok számára, és az a + bε alakú számok, ahol ε ≠ 0, de ε² = 0, hívják a matematikusok dupla számok. Előfordulnak a matematikai elemzésben és a differenciálgeometriában.

Végül is van az aritmetikában, aminek legalább a nevében van nullával való osztás. Származik kongruencia. Jelölje Z az egész számok halmazát. A Z halmaz p-vel való elosztása azt jelenti, hogy minden számot (egész számot) másokkal egyenlővé teszünk, mégpedig azokkal, amelyekkel a különbségük osztható. Tehát, ha ötféle számunk van, amelyek megfelelnek a 0, 1, 2, 3, 4 számoknak - a lehetséges maradékok, ha elosztjuk 5-tel. A képlet a következőképpen írható:

mod, ha a különbség többszörös.

= 2 esetén csak két számunk van: 0 és 1. Az egész számok két ilyen osztályra való felosztása megegyezik a páros és páratlan osztályok felosztásával. Most cseréljük ki. A különbség mindig osztható 1-gyel (bármely egész szám osztható 1-gyel). Felvehető a =0? Próbáljuk meg: mikor lesz két szám különbsége nulla többszöröse? Csak akkor, ha ez a két szám egyenlő. Tehát az egész számok halmazának nullával való elosztása logikus, de nem érdekes: nem történik semmi. Hangsúlyozni kell azonban, hogy ez nem az általános iskolából ismert értelemben vett számosztás.

Az ilyen műveletek egyszerűen tilosak, valamint a hosszú és széles matematika.

Rizs. 2. Számok azonosítása összehasonlítással

(5. mód és 2. mód)