Utazás a matematika irreális világába

Ezt a cikket az egyik környezetben írtam, egy számítástechnikai főiskolán tartott előadás és gyakorlat után. Megvédem magam az iskola diákjait, tudásukat, tudományhoz való hozzáállásukat és legfőképpen tanári készségeiket ért kritikák ellen. Ezt... senki sem tanítja nekik.

Miért vagyok ennyire védekező? Egyszerű okból – olyan korban vagyok, amikor valószínűleg még nem értjük a körülöttünk lévő világot. Lehet, hogy megtanítom őket a lovak be- és leszerelésére, és nem arra, hogy autót vezetjenek? Talán megtanítom őket tolltollal írni? Bár nekem jobb véleményem van egy emberről, „követőnek” tartom magam, de…

Egészen a közelmúltig a középiskolában összetett számokról beszéltek. És ezen a szerdán történt, hogy hazajöttem, kiléptem – szinte még egyik diák sem tanulta meg, hogy mi az, és hogyan kell használni ezeket a számokat. Vannak, akik úgy néznek minden matematikára, mint a liba a festett ajtóra. De őszintén meglepődtem, amikor elmondták, hogyan kell tanulni. Egyszerűen fogalmazva, egy előadás minden órája két óra házi feladat: egy tankönyv olvasása, egy adott témával kapcsolatos problémák megoldásának megtanulása stb. Így felkészülve jutunk el a gyakorlatokhoz, ahol mindent javítunk... Örömteli, hogy a hallgatók láthatóan úgy gondolták, hogy az előadáson ülve - leggyakrabban az ablakon kinézve - már garantálja a tudás bejutását a fejbe.

Állj meg! Elég ebből. Leírom a válaszomat arra a kérdésre, amit egy órán kaptam az Országos Gyermekalap, az ország minden tájáról érkező tehetséges gyerekeket támogató intézmény ösztöndíjasaival. A kérdés (vagy inkább a javaslat) a következő volt:

– Mondana valamit az irreális számokról?

„Természetesen” – válaszoltam. 

A számok valósága

„A barát egy másik én, a barátság pedig a 220 és 284 számok aránya” – mondta Pythagoras. Itt az a lényeg, hogy a 220-as szám osztóinak összege 284, a 284-es szám osztóinak összege pedig 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 \u11d 20 + 22 + 44 + 55 + 110 + 284 \u220d 32. Figyeld meg egyébként, hogy a bibliai Jákób 14 bárányt és kost adott Ézsaunak a barátság jeléül (XNUMXMózes XNUMX:XNUMX). ).

Egy másik érdekes egybeesés a 220 és 284 számok között: a tizenhét legnagyobb prímszám a 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , és 59.

Összegük 2x220, a négyzetek összege 59x284.

Első. A "valós szám" fogalma nem létezik. Mintha egy elefántokról szóló cikk elolvasása után azt kérdeznéd: "Most nem elefántokat fogunk kérni." Vannak egészek és nem egészek, racionálisak és irracionálisak, de nincsenek irreálisak. Kimondottan: a nem valós számokat nem nevezzük érvénytelennek. A matematikában sokféle "szám" létezik, és különböznek egymástól, mint például - zoológiai összehasonlításban - egy elefánt és egy giliszta.

Másodszor olyan műveleteket hajtunk végre, amelyekről már korábban is tudhat, hogy tiltottak: a negatív számok négyzetgyökeinek kinyerését. Nos, a matematika le fogja győzni ezeket az akadályokat. Mégis van értelme? A matematikában, mint minden más tudományban, az, hogy egy elmélet örökre bekerül-e a tudás tárházába, az alkalmazásától függ. Ha haszontalan, akkor a szemetesben, aztán a tudástörténeti szemétben végzi. A számok nélkül, amelyekről a cikk végén beszélek, lehetetlen fejleszteni a matematikát. De kezdjük néhány aprósággal. Melyek a valós számok, tudod. Sűrűn, hézagmentesen töltik ki a számsort. Azt is tudod, hogy mik a természetes számok: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - ezek nem férnek bele emléke még a legnagyobb is. Gyönyörű nevük is van: természetes. Nagyon sok érdekes tulajdonságuk van. Hogy tetszik ez:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

„Természetes, hogy érdeklődünk a természetes számok iránt” – mondta Karl Lindenholm, Leopold Kronecker (1823–1891) pedig tömören fogalmazott: „Isten teremtette a természetes számokat – minden más az ember műve!” A törtek (amelyeket a matematikusok racionális számoknak neveznek) szintén csodálatos tulajdonságokkal rendelkeznek:

és egyenlőségben:

bal oldalról kezdve dörzsölheti a pluszokat, és helyettesítheti szorzójelekkel - és az egyenlőség igaz marad:

És így tovább.

Mint tudják, az a/b törtekre, ahol a és b egész számok, és b ≠ 0, azt mondják racionális szám. De csak lengyelül nevezik magukat így. Angolul, franciául, németül és oroszul beszélnek. racionális szám. Magyarul: racionális számok. Irracionális számok ez irracionális, irracionális. Lengyelül beszélünk az irracionális elméletekről, eszmékről és tettekről is – ez őrület, képzeletbeli, megmagyarázhatatlan. Azt mondják, hogy a nők félnek az egerektől – nem olyan irracionális?

Az ókorban a számoknak lelke volt. Mindegyik jelentett valamit, mindegyik szimbolizált valamit, mindegyik az Univerzum harmóniájának egy részecskéjét tükrözte, vagyis görögül a Kozmosznak. A "kozmosz" szó pontosan azt jelenti, hogy "rend, rend". A legfontosabbak a hat (tökéletes szám) és a tíz volt, az egymást követő számok 1+2+3+4 összege, amelyek más számokból tevődnek össze, amelyek szimbolikája a mai napig fennmaradt. Tehát Pythagoras azt tanította, hogy a számok mindennek a kezdete és forrása, és csak a felfedezés irracionális számok a Pythagore-féle mozgást a geometria felé fordította. Ismerjük az érvelést az iskolából

√2 irracionális szám

Tegyük fel, hogy létezik: és ez a tört nem csökkenthető. Pontosabban, p és q is páratlan. Négyzetezzük: 2q²=p². A p szám nem lehet páratlan, azóta p² szintén az lenne, és az egyenlőség bal oldala 2 többszöröse. Ezért p páros, azaz p = 2r, tehát p²= 4r². Csökkentjük a 2q egyenletet²= 4r² 2-vel. q-t kapunk²= 2r² és látjuk, hogy q-nak is párosnak kell lennie, amiről feltételeztük, hogy nem így van. Az ebből eredő ellentmondás teszi teljessé a bizonyítást - ez a képlet gyakran minden matematikai könyvben megtalálható. Ez a közvetett bizonyítás a szofisták kedvenc trükkje.

Ezt a mérhetetlenséget a pitagoreusok nem tudták megérteni. Mindent le kell tudni számokkal leírni, és a négyzet átlójának, amit bárki bottal a homokon áthúzhat, nincs, azaz mérhető hossza. „A hitünk hiábavaló volt” – mondják a pitagoreusok. Hogy hogy? Ez valahogy... irracionális. Az Unió szektás módszerekkel próbálta megmenteni magát. Bárki, aki fel meri fedni a létezését irracionális számok, halállal kellett büntetni, és úgy tűnik, az első ítéletet maga a mester hajtotta végre.

De "a gondolat sértetlenül múlt el." Elérkezett az aranykor. A görögök legyőzték a perzsákat (Marathon 490, Block 479). A demokrácia megerősödött, a filozófiai gondolkodás új központjai és új iskolák jöttek létre. A püthagoreusok még mindig az irracionális számokkal küszködtek. Néhányan azt hirdették: nem fogjuk felfogni ezt a titkot; csak elmélkedhetünk és rácsodálkozhatunk az Unchartedre. Az utóbbiak pragmatikusabbak voltak, és nem tisztelték a Rejtélyt. Ekkor két mentális konstrukció jelent meg, amelyek lehetővé tették az irracionális számok megértését. Az, hogy ma elég jól értjük őket, Eudoxushoz tartozik (Kr. e. XNUMX. század), és Richard Dedekind német matematikus csak a XNUMX. század végén adta meg az Eudoxus elméletének megfelelő fejlesztését a szigorú követelményeknek megfelelően. matematikai logika.

A figurák tömege vagy a kínzás

Tudsz élni számok nélkül? Még akkor is, ha mi lenne az élet... El kellene menni a boltba cipőt venni egy bottal, aminek korábban megmértük a láb hosszát. – Almát kérek, ah, itt van! – mutatnánk meg az eladókat a piacon. "Milyen messze van Modlin és Nowy Dwur Mazowiecki"? "Egész közel!"

A méréshez számokat használnak. Segítségükkel sok más fogalmat is kifejezünk. Például a térkép léptéke megmutatja, hogy mennyivel csökkent az ország területe. A kettő az egyhez skála, vagy egyszerűen 2, azt a tényt fejezi ki, hogy valami méretét megduplázták. Mondjuk matematikailag: minden homogenitás egy számnak – a skálájának – felel meg.

A feladat. Készítettünk egy xerográfiai másolatot, többször nagyítva a képet. Ezután a megnagyobbított töredéket ismét b-szer nagyítottuk. Mi az általános nagyítási skála? Válasz: a × b szorozva b-vel. Ezeket a mérlegeket meg kell szorozni. A "mínusz egy" szám, a -1, egy olyan pontosságnak felel meg, amely középre van állítva, azaz 180 fokkal elforgatva. Melyik szám felel meg 90 fokos fordulatnak? Nincs ilyen szám. Van, van… vagy inkább hamarosan lesz. Készen állsz az erkölcsi kínzásra? Legyen bátor, és vegye ki a mínusz egy négyzetgyökét. hallgatok? Mit nem tudsz? Végül is azt mondtam, hogy légy bátor. Húzd ki! Hé, hát húzd, húzd... Segítek... Itt: -1 Most, hogy megvan, próbáljuk meg használni... Persze most már ki tudjuk húzni az összes negatív szám gyökerét, mert példa.:

√-4 = 2√-1,-16 = 4√-1

– Függetlenül attól, hogy milyen lelki gyötrődéssel jár. Ezt írta Girolamo Cardano 1539-ben, hogy megpróbálja leküzdeni azokat a mentális nehézségeket, amelyek a - ahogy hamarosan elnevezték - kapcsolatosak voltak. képzeletbeli mennyiségek. Úgy gondolta ezeket...

...A feladat. Oszd két részre a 10-et, aminek a szorzata 40. Emlékszem, hogy az előző részből valami ilyesmit írt: Bizonyára lehetetlen. Azonban tegyük ezt: osszuk el a 10-et két egyenlő részre, mindegyik egyenlő 5-tel. Szorozzuk meg őket - 25-re derült ki. A kapott 25-ből most vonjunk le 40-et, ha úgy tetszik, és -15-öt kapunk. Most nézze meg: √-15 összeadva és 5-ből kivonva megkapja a 40 szorzatát. Ezek az 5-√-15 és az 5 + √-15 számok. Az eredmény ellenőrzését Cardano az alábbiak szerint végezte:

„A szívfájdalmaktól függetlenül szorozzuk meg az 5 + √-15-öt 5-√-15-tel. 25 - (-15) értéket kapunk, ami egyenlő 25 + 15-tel. Tehát a szorzat 40 .... Tényleg nehéz."

Nos, mennyi az: (1 + √-1) (1-√-1)? Szorozzuk meg. Ne feledje, hogy √-1 × √-1 = -1. Nagy. Most egy nehezebb feladat: a + b√-1-ről ab√-1-re. Mi történt? Természetesen így: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Mi ebben az érdekes? Például az a tény, hogy faktorizálhatunk olyan kifejezéseket, amelyeket "korábban nem ismertünk". A rövidített szorzási képlet a²-b² Emlékszel a képletre²+b² nem volt, mert nem lehetett. A valós számok tartományában a polinom²+b² ez elkerülhetetlen. Jelöljük a "mínusz egy" négyzetgyökét az i betűvel.²= -1. Ez egy "irreális" prímszám. És ez jellemzi a repülőgép 90 fokos elfordulását. Miért? Végül,²= -1, és egy 90 fokos és egy másik 180 fokos elforgatás kombinálásával 45 fokos elforgatást kapunk. Milyen típusú forgatást írnak le? Nyilvánvalóan XNUMX fokos fordulat. Mit jelent a -i? Ez egy kicsit bonyolultabb:

(-ÉN)² = -i × (-i) = + i² = -1

Tehát az -i egy 90 fokos elforgatást is leír, éppen az i forgásával ellentétes irányba. Melyik a bal és melyik a jobb? Időpontot kell egyeztetni. Feltételezzük, hogy az i szám egy olyan forgást határoz meg, amelyet a matematikusok pozitívnak tekintenek: az óramutató járásával ellentétes irányba. Az -i szám a mutatók mozgásának irányába történő elforgatást írja le.

De léteznek olyan számok, mint az i és -i? Vannak! Csak életre keltettük őket. hallgatok? Hogy csak a fejünkben léteznek? Nos mire lehet számítani? Az összes többi szám is csak a tudatunkban létezik. Meg kell néznünk, hogy életben marad-e újszülötteink száma. Pontosabban, hogy logikus-e a kialakítás, és hasznosak lesznek-e valamiben. Kérem, fogadjon szavamat, hogy minden rendben van, és ezek az új számok valóban hasznosak. Az olyan számokat, mint a 3+i, 5-7i, általánosabban: a+bi komplex számoknak nevezzük. Megmutattam, hogyan szerezheted meg őket a gép megforgatásával. Különböző módokon adhatók be: pontokként egy síkban, néhány polinomként, valamilyen numerikus tömbként... és minden alkalommal ugyanazok: az x egyenlet² +1=0 nincs elem... hókuszpókusz már van!!!! Örüljünk és örüljünk!!!

A túra vége

Ezzel véget ért az első körút a hamis számok országában. A többi földöntúli szám közül megemlítem azokat is, amelyek előtt végtelen számú számjegy van, és nem mögötte (ezeket 10-adic-nek hívják, nekünk a p-adic a fontosabb, ahol p prímszám), ugyanis példa X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Számoljunk X-et kérlek². Mint? Mi van, ha kiszámítjuk egy szám négyzetét, amelyet végtelen számú számjegy követ? Nos, tegyük ugyanezt. Tudjuk, hogy x² = H.

Keressünk egy másik ilyen számot végtelen számú számjegygel elöl, amely kielégíti az egyenletet. Tipp: a hatra végződő szám négyzete is hatra végződik. A 76-ra végződő szám négyzete 76-ra is végződik. A 376-ra végződő szám négyzete szintén 376-ra végződik. A 9376-ra végződő szám négyzete szintén 9376-ra végződik. XNUMX a… Vannak olyan számok is, amelyek olyan kicsik, hogy pozitívak, kisebbek maradnak, mint bármely más pozitív szám. Olyan aprók, hogy néha elég négyzetre emelni, hogy nullát kapjunk. Vannak számok, amelyek nem teljesítik az a × b = b × a feltételt. Vannak végtelen számok is. Hány természetes szám van? Végtelenül sok? Igen, de mennyit? Hogyan fejezhető ki ez számként? Válasz: a végtelen számok legkisebbje; szép betűvel van jelölve: A és kiegészítve egy nulla A indexszel₀ , aleph-nulla.

Vannak olyan számok is, amelyekről nem tudjuk, hogy léteznek... vagy amelyekről tetszése szerint hinhet vagy nem hisz. És ha már a hasonlókról beszélünk: Remélem, továbbra is szeretitek az Unreal Numbers-t, a Fantasy Species Numbers-t.