Rejtjelek és kémek
A mai Mateksarokban egy témát veszek szemügyre, amelyet az Országos Gyermekalapítvány éves tudományos táborában tárgyaltam gyerekeknek. Az alapítvány tudományos érdeklődésű gyerekeket és fiatalokat keres. Nem kell rendkívül tehetségesnek lenned, de "tudományos szériára" igen. Nagyon jó iskolai osztályzat nem kötelező. Próbáld ki, lehet, hogy tetszeni fog. Ha általános iskolás vagy középiskolás vagy, jelentkezz. Általában a szülők vagy az iskola készítenek jelentést, de ez nem mindig van így. Keresse meg az alapítvány honlapját, és tájékozódjon.
Az iskolában egyre többet beszélnek a „kódolásról”, utalva a korábban „programozásnak” nevezett tevékenységre. Ez egy általános eljárás az elméleti oktatók számára. Előássák a régi módszereket, új nevet adnak nekik, és a "haladás" magától is gondoskodik. Számos területen fordul elő ilyen ciklikus jelenség.
Arra lehet következtetni, hogy leértékelem a didaktikát. Nem. A civilizáció fejlődése során időnként visszatérünk ahhoz, ami volt, elhagyott és most újjáéled. De a mi sarkunk matematikai, nem filozófiai.
Egy adott közösséghez tartozás egyben "közös szimbólumokat", közös olvasmányokat, mondásokat és példázatokat is jelent. Aki tökéletesen megtanulta a lengyel nyelvet „Szczebrzeszynben nagy bozót van, bogár zümmög a nádasban”, azonnal lelepleződik egy idegen állam kémjeként, ha nem válaszol arra a kérdésre, hogy mit csinál a harkály. Hát persze, hogy fullad!
Ez nem csak vicc. 1944 decemberében a németek megindították utolsó offenzívájukat az Ardennekben, nagy költséggel. Mozgósítottak angolul folyékonyan beszélő katonákat, hogy megzavarják a szövetséges csapatok mozgását, például úgy, hogy rossz irányba vezették őket a kereszteződésekben. Az amerikaiak egy pillanatnyi meglepetés után gyanús kérdéseket kezdtek feltenni a katonáknak, amelyekre a válasz egy texasi, nebraska vagy georgiai ember számára nyilvánvaló, és elképzelhetetlen annak, aki nem ott nőtt fel. A valóság nem ismerete közvetlenül vezetett a kivégzéshez.
Lényegre törő. Az olvasók figyelmébe ajánlom Lukasz Badowski és Zaslaw Adamashek „Laboratórium az asztalfiókban – matematika” című könyvét. Ez egy csodálatos könyv, amely ragyogóan megmutatja, hogy a matematika valóban hasznos valamire, és hogy a „matematikai kísérlet” nem üres szavak. Tartalmazza többek között a „karton enigma” leírt felépítését – egy olyan eszközt, amelynek elkészítése mindössze tizenöt percet vesz igénybe, és amely úgy működik, mint egy komoly titkosítógép. Maga az ötlet annyira ismert volt, az említett szerzők szépen kidolgozták, majd kicsit változtatok rajta, és matematikaibb ruhákba burkolom.
fémfűrészek
Varsó külvárosában található dacha falum egyik utcájában nemrégiben leszerelték a járdát a „trlinka” - hatszögletű járólapokból. Az utazás kényelmetlen volt, de a matematikus lelke örült. A síkot szabályos (azaz szabályos) sokszögekkel lefedni nem egyszerű. Csak háromszögek, négyzetek és szabályos hatszögek lehetnek.
Talán kicsit vicceltem ezzel a lelki örömmel, de a hatszög gyönyörű figura. Ebből elég sikeres titkosítóeszközt készíthet. A geometria segít. A hatszög forgásszimmetriával rendelkezik - 60 fokkal többszörösen elforgatva átfedi magát. A bal felső sarokban például A betűvel jelölt mező ábra. 1 ezen a szögön átfordulva az A mezőbe is beleesik - és ugyanez más betűkkel is. Tehát vágjunk ki hat négyzetet a rácsból, mindegyik más betűvel. Az így kapott rácsot egy papírlapra tesszük. A szabad hat mezőbe írja be a titkosítani kívánt szöveg hat betűjét. Forgassa el a lapot 60 fokkal. Hat új mező jelenik meg – írja be üzenetünk következő hat betűjét.
Rizs. 1. A matematika örömének linkjei.
Jobb oldalon ábra. 1 van egy szövegünk így kódolva: "Az állomáson egy hatalmas nehéz gőzmozdony áll."
Most jól jön egy kis iskolai matek. Hányféleképpen rendezhető el két szám egymáshoz képest?
Milyen hülye kérdés? Kettőnek: vagy az egyik előtt, vagy a másik.
Bírság. És három szám?
Nem nehéz felsorolni az összes beállítást:
123., 132., 213., 231., 312., 321.
Nos, négyre való! Még mindig egyértelműen ki lehet írni. Találd ki az általam felállított sorrendi szabályt:
1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,
1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,
2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,
3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321
Ha a számjegy öt, akkor 120 lehetséges beállítást kapunk. Hívjuk fel őket permutációk. Az n szám lehetséges permutációinak száma az 1 2 3 ... n szorzat, amelyet hívunk erős és felkiáltójellel jelölve: 3!=6, 4!=24, 5!=120. A következő 6-os számra 6-ot kapunk!=720. Ezt arra fogjuk használni, hogy bonyolultabbá tegyük a hatszögletű rejtjelpajzsunkat.
A számok permutációját 0-tól 5-ig választjuk, például 351042. A hatszögletű kódoló korongunk középső mezőjében egy kötőjel van - így "nulla pozícióba" helyezhető - egy kötőjel felfelé, mint az ábra. 1. A lemezt így tesszük egy papírlapra, amire meg kell írnunk a jelentésünket, de nem írjuk meg azonnal, hanem háromszor 60 fokkal (azaz 180 fokkal) elfordítjuk és hat betűt írunk be. az üres mezőket. Visszatérünk a kiinduló helyzetbe. Ötször forgatjuk el a tárcsát 60 fokkal, azaz számlapunk öt "fogával". Nyomtatunk. A skála következő pozíciója a nulla körül 60 fokkal elforgatott pozíció. A negyedik pozíció 0 fok, ez a kiindulási helyzet.
Érted mi történt? Van egy további lehetőségünk - több mint hétszázszorosra bonyolítani a "gépünket"! Tehát két független pozíciónk van az "automatának" - a rács és a permutáció kiválasztása. A rácsot 66 = 46656 módon lehet kiválasztani, a permutáció 720. Ez 33592320 lehetőséget ad. Több mint 33 millió titkosítás! Majdnem egy kicsit kevesebb, mert egyes rácsokat nem lehet papírból kivágni.
Az alsó részen ábra. 1 így kódolt üzenetünk van: "Küldök neked négy ejtőernyős hadosztályt." Könnyű megérteni, hogy az ellenségnek nem szabad tudnia erről. De vajon megért-e valamit ebből:
ТПОРОПВМАНВЕОРДИЗЗ
YYLOAKVMDEYCHESH,
akár 351042 aláírással?
Enigmát, német titkosítógépet építünk
Rizs. 2. Példa a titkosítógépünk kezdeti beállítására.
Permutációk (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).
Mint már említettem, egy ilyen kartongép létrehozásának ötletét a "Labor in a Drawer - Mathematics" című könyvnek köszönhetem. Az én „konstrukcióm” némileg eltér a szerzők által megadottaktól.
A németek által a háború alatt használt titkosítógép zseniálisan egyszerű elve volt, némileg hasonló ahhoz, amit a hatszögletű rejtjelnél láttunk. Minden alkalommal ugyanaz: megtörni egy levél kemény hozzárendelését egy másik betűhöz. Cserélhetőnek kell lennie. Hogyan kell csinálni, hogy kontrollálhassuk?
Ne tetszőleges permutációt válasszunk, hanem olyat, aminek 2-es ciklusai vannak. Egyszerűen fogalmazva, valami olyasmi, mint a néhány hónapja itt leírt Gaderipoluk, de lefedi az ábécé összes betűjét. Egyezzünk meg 24 betűben - ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q nélkül. Hány ilyen permutáció? Ez érettségizők feladata (azonnal meg kell tudni oldani). Mennyi? Sok? Több ezer? Igen:
1912098225024001185793365052108800000000 (ne is próbáljuk kiolvasni ezt a számot). Nagyon sok lehetőség van a "nulla" pozíció beállítására. És nehéz lehet.
Gépünk két kerek tárcsából áll. Az egyikre, amely még mindig áll, betűk vannak írva. Kicsit olyan, mint egy régi telefon tárcsája, ahol úgy tárcsáztál egy számot, hogy a tárcsát teljesen elforgatod. A Rotary a második színvilággal. A legegyszerűbb módja az, hogy egy tű segítségével normál parafára helyezzük őket. Parafa helyett vékony táblát vagy vastag kartont használhat. Lukasz Badowski és Zasław Adamaszek azt javasolják, hogy mindkét lemezt CD-dobozba helyezzék.
Képzeld el, hogy az ARMATY szót akarjuk kódolni (Rizs. 2. és 3). Állítsa a készüléket nulla pozícióba (felfelé mutató nyíl). Az A betű az F-nek felel meg. Forgassa el a belső áramkört egy betűvel jobbra. Az R betűt kell kódolnunk, most az A-nak felel meg. A következő elforgatás után látjuk, hogy az M betű U-nak felel meg. A következő forgatás (negyedik diagram) az A-P megfelelést adja. Az ötödik tárcsán T. - A. Végül (hatodik kör) I – I Az ellenség valószínűleg nem fogja kitalálni, hogy a mi CFCFA-ink veszélyesek lesznek számára. És a „mieink” hogyan fogják olvasni a küldeményt? Ugyanolyan géppel kell rendelkezniük, ugyanazzal a "programozással", vagyis ugyanazzal a permutációval. A titkosítás a nulla pozícióban kezdődik. Tehát F értéke A. Forgassa el a tárcsát az óramutató járásával megegyező irányba. Az A betűt most R-hez társítják. Jobbra fordítja a tárcsát, és az U betű alatt megtalálja az M-et stb. A rejtjelező a tábornokhoz fut: "Tábornok, jelentem, jönnek a fegyverek!"
Rizs. 3. Enigma című lapunk működési elve.
| Rizs. 3. Enigma című lapunk működési elve. | ||
Még egy ilyen primitív Enigma lehetőségei is elképesztőek. Más kimeneti permutációt is választhatunk. Nem egy „szeriffel” tehetjük - és itt még több lehetőség van - rendszeresen, hanem egy bizonyos, naponta változó sorrendben, a hatszöghöz hasonlóan (például először három betű, majd hét, majd nyolc, négy ... .. stb.).
Hogy lehet kitalálni?! És mégis a lengyel matematikusok számára (Marian Reevski, Henryk Zigalski, Jerzy Ruzicki) történt. Az így megszerzett információ felbecsülhetetlen értékű volt. Korábban ugyanilyen fontos hozzájárulásuk volt védelmünk történetéhez. Václav Serpinski i Sztanyiszlav Mazurkevicsaki 1920-ban megszegte az orosz csapatok törvénykönyvét. Az elfogott kábel lehetőséget adott Piłsudskinak a híres manőver megtételére a Vepsz folyó felől.
Emlékszem Vaslav Sierpinskire (1882-1969). Olyan matematikusnak tűnt, aki számára a külvilág nem létezik. Az 1920-as győzelemben való részvételéről katonai és... politikai okokból sem beszélhetett (a Lengyel Népköztársaság hatóságai nem szerették azokat, akik megvédtek minket a Szovjetuniótól).
Rizs. 4. Permutáció (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).
Rizs. 5. Gyönyörű dekoráció, de titkosításra nem alkalmas. Túl rendszeresen.
1 feladat. Na ábra. 4 van egy másik permutációja az Enigma létrehozásához. Másolja a rajzot a xerográfba. Építs autót, kódold be a vezeték- és keresztnevedet. Az én CWONUE JTRYGT-m. Ha meg szeretné őrizni a jegyzeteit, használja a Cardboard Enigmát.
2 feladat. Titkosítsa az Ön által látott „autó” nevét és vezetéknevét, de (figyelem!) egy további bonyodalommal: nem egy fokkal jobbra fordulunk, hanem a következő séma szerint: {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ....} - azaz először eggyel, majd kettővel, majd hárommal, majd 2-vel, majd ismét 1-gyel, majd 2-vel stb. . Győződjön meg arról, hogy az utó- és vezetéknevem CZTTAK SDBITH kóddal van titkosítva. Most már érted, milyen erős volt az Enigma gép?
Problémamegoldás érettségizőknek. Hány konfigurációs lehetőség az Enigma számára (ebben a verzióban, a cikkben leírtak szerint)? 24 levelünk van. Kiválasztjuk az első betűpárt - ezt megtehetjük
módokon. A következő pár választható
módokon, többen
stb. A megfelelő számítások után (minden számot meg kell szorozni), azt kapjuk
151476660579404160000
Ezután oszd el ezt a számot 12-vel! (12 faktoriális), mert ugyanazok a párok eltérő sorrendben is beszerezhetők. Tehát a végén "összesen" leszünk
316234143225,
ez valamivel több, mint 300 milliárd, ami a mai szuperszámítógépek számára nem tűnik elképesztően nagy számnak. Ha azonban maguknak a permutációknak a véletlenszerű sorrendjét vesszük figyelembe, ez a szám jelentősen megnő. Gondolhatunk más típusú permutációkra is.
Lásd még:
