Cikk a semmiről

Gyerekkoromban lenyűgözött a „körömlevesről” szóló, valószínűleg sok olvasó által ismert történet. A nagymamám (születési XNUMX. század) ezt mondta nekem a „Jött a kozák és vizet kért, mert van egy körme, és levest fog főzni rajta” változatban. A kíváncsi háziasszony adott neki egy fazék vizet… és tudjuk, mi történt ezután: „a leves legyen sós, dagyi, nagymama, sós”, majd megmosta a húst „az íz javítása érdekében” és így tovább. A végén eldobta a "lefőtt" szöget.

Tehát ennek a cikknek az űr ürességéről kellett volna szólnia - ez pedig egy európai apparátus leszállásáról szól a 67P / Churyumov-Gerasimenko üstökösre 12. november 2014-én. Írás közben azonban beletörődtem egy régóta fennálló szokásba, Még mindig matematikus vagyok. Hogy van vele Tetszikс Nulla matematika?

Hogy a Semmi nem létezik?

Nem lehet azt mondani, hogy semmi sem létezik. Létezik legalább filozófiai, matematikai, vallási és teljesen köznyelvi fogalomként. A nulla közönséges szám, a hőmérő nulla foka is hőmérséklet, a bankban lévő nulla egyenleg kellemetlen, de gyakori jelenség. Vegye figyelembe, hogy a kronológiában nincs nulla év, és ez azért van, mert a nullát csak a késő középkorban vezették be a matematikába, később, mint a Dionysius szerzetes által javasolt kronológia (XNUMX. század).

Furcsa módon tényleg meg tudnánk nélkülözni ezt a nullát, és ezért negatív számokat sem. Az egyik logikai tankönyvben találtam egy gyakorlatot: rajzold le vagy mondd el, hogyan képzeled el a halak hiányát. Elképesztő, nem? Bárki tud halat rajzolni, de egyet nem?

Most röviden matematika alaptanfolyam. A létezési jogosultság megadása az áthúzott körrel ∅ jelölt üres halmaznak egy szükséges eljárás, amely analóg a nullával a számok halmazához. Az üres halmaz az egyetlen olyan halmaz, amely nem tartalmaz elemeket. Ilyen gyűjtemények:

De nincs két különböző üres halmaz. Az üres készlet minden más készletben megtalálható:

Valójában a matematikai logika szabályai szerint az A halmaz akkor és csak akkor szerepel a B halmazban, ha a mondat:

azzal jár

A ∅ üres halmaz esetén az állítás mindig hamis, így a logika törvényei szerint az implikáció általában igaz. Minden hazugságból fakad („itt fogok kaktuszt növeszteni, ha a következő osztályba lépsz...”). Tehát mivel az üres halmaz mindegyikben benne van a többiben, akkor ha két különböző lenne, akkor mindegyik benne lenne a másikban. Ha azonban két halmaz van egymásban, akkor egyenlők. Ezért: csak egy üres készlet van!

Az üres halmaz létezésének posztulátuma nem mond ellent a matematika egyetlen törvényének sem, miért ne kelthetnénk életre? A filozófiai elv únOccam borotvája»Parancs a szükségtelen fogalmak kizárására, de pont helyesen az üres halmaz fogalma nagyon hasznos a matematikában. Figyeljük meg, hogy az üres halmaz dimenziója -1 (mínusz egy) - a nulla dimenziós elemek pontok és ritka rendszereik, az egydimenziós elemek vonalak, és a fraktálokról szóló fejezetben nagyon összetett, fraktáldimenziójú matematikai elemekről beszéltünk. .

Érdekes, hogy a matematika egész épülete: számok, számok, függvények, operátorok, integrálok, differenciálok, egyenletek... egyetlen fogalomból – egy üres halmazból – származtathatók! Elég azt feltételezni, hogy van egy üres halmaz, az újonnan létrehozott elemeket készletekké lehet kombinálni, hogy képes legyen rá felépíteni az összes matematikát. Gottlob Frege német logikus így építette fel a természetes számokat. A nulla olyan halmazok osztálya, amelyek elemei kölcsönösen megfelelnek az üres halmaz elemeinek. Az egyik olyan halmazok osztálya, amelyek elemei kölcsönösen megfelelnek egy halmaz elemeinek, amelynek egyetlen eleme az üres halmaz. A Kettő halmazok olyan osztálya, amelynek elemei egy az egyhez állnak az üres halmazból álló halmaz elemeivel és abból a halmazból, amelynek egyetlen eleme az üres halmaz... és így tovább. Első pillantásra ez egy nagyon bonyolult dolognak tűnik, de valójában nem az.

Kék terült szét rajtam

hanga illata volt és menta illata...

Wojciech Mlynarski, Szüreti lány

Nehéz elképzelni

Semmit sem nehéz elképzelni. Stanisław Lem „Hogyan sikerült megmenteni a világot” című történetében a tervező, Trurl olyan gépet épített, amely mindent megtesz egy betűtől kezdve. Amikor Klapaucius elrendelte az építkezést Nic, a gép különféle tárgyakat kezdett eltávolítani a világból – azzal a végső céllal, hogy mindent eltávolítson. Mire az ijedt Klapaucius megállította a kocsit, végleg eltűntek a világból a gályák, a tiszafák, az akasztás, a csapások, a mondókák, a verők, a puffok, a darálók, a nyársak, a filidronok és a fagyok. És valóban, örökre eltűntek...

Józef Tischner nagyon jól írt a semmiről a Hegyi filozófia történetében. Utolsó nyaralásom során úgy döntöttem, hogy megtapasztalom ezt a semmiséget, nevezetesen a Nowy Targ és a podhalei Jabłonka közötti tőzeglápba mentem. Ezt a területet Pustachiának is hívják. Mész, mész, de az út nem csökken - persze a mi szerény, lengyel léptékünkkel. Egy nap busszal utaztam a kanadai Saskatchewan tartományban. Kint volt egy kukoricatábla. Fél órát aludtam. Amikor felébredtem, ugyanazon a kukoricáson mentünk keresztül... De várjunk csak, ez üres? Bizonyos értelemben a változás hiánya csak üresség.

Megszoktuk, hogy különféle tárgyak állandóan jelen vannak körülöttünk, és tőlünk Valami csukott szemmel sem tudsz elfutni. „Gondolkodom, tehát vagyok” – mondta Descartes. Ha már gondoltam valamit, akkor létezem, ami azt jelenti, hogy legalább van valami a világon (nevezetesen én). Létezik, amit gondoltam? Erről lehet beszélni, de a modern kvantummechanikában ismert a Heisenberg-elv: minden megfigyelés megzavarja a megfigyelt objektum állapotát. Amíg meg nem látjuk Nic nem létezik, és amikor elkezdjük keresni, a tárgy megszűnik létezni Tetszik és azzá válik Valami. Kezd abszurd lenni antropikus elv: nincs értelme kérdezni, milyen lenne a világ, ha nem léteznénk. A világ olyan, amilyennek látszik számunkra. Talán más lények szögletesnek látják a Földet?

A pozitron (ilyen pozitív elektron) egy lyuk a térben, "nincs elektron". A megsemmisülés során az elektron beugrik ebbe a lyukba, és „nem történik semmi” – nincs lyuk, nincs elektron. Sok viccet kihagyok a svájci sajtban lévő lyukakkal kapcsolatban ("minél több van, annál kevesebb van..."). A híres zeneszerző, John Cage már akkora mértékben kamatoztatta elképzeléseit, hogy komponált (?) egy olyan zenét (?), amelyben a zenekar 4 perc 33 másodpercig ül mozdulatlanul, és természetesen nem játszik semmit. „Négy perc harminchárom másodperc kétszázhetvenhárom, 273, mínusz 273 fok pedig abszolút nulla, amelynél minden mozgás megáll” – magyarázta a zeneszerző (?).

Szűrés nullára, semmi, nick, nick, semmi, nulla!

Jerzy Andrzej Wajda Az évek során című filmjében

telnek a napok"

Mit szólsz mindenkihez?

Sokan (az egyszerű földművesektől a kiemelkedő filozófusokig) érdeklődtek a létezés jelenségén. A matematikában a helyzet egyszerű: van valami, ami következetes.

Eltűnt a szélső mezőkön

Búzavirágban, gazban és oroszlánszájban...

Nos, ezek a dolgok megtörténnek

Főleg az aratásban, és az aratás alatt

különösen…

Wojciech Mlynarski, Szüreti lány

Minden a Semmi másik végletében van. A matematikában ezt tudjuk Minden nem létezik. Csak egy túlságosan pontatlan elképzelés, hogy létezése mentes lenne a vitáktól. Ez érthető a régi paradoxon példáján: "Ha Isten mindenható, akkor teremts egy követ, hogy felvehesd?" A tételen alapul annak a matematikai bizonyítása, hogy nem létezhetnek minden halmazból halmazok énekes-Berstein, amely azt mondja, hogy "végtelen szám" (matematikai: tőszám) egy adott halmaz összes tagjának halmaza nagyobb, mint e halmaz elemeinek száma.

Ha egy halmaznak vannak elemei, akkor 2ⁿ részhalmazok; például, ha = 3, és a halmaz a következőkből áll: {1, 2, 3}, akkor a következő részhalmazok léteznek:

• három kételemű halmaz: mindegyikből hiányzik az 1, 2, 3 számok egyike,
• egy üres készlet,
• három egyelemű készlet,
• a teljes készlet {1,2,3}

– csak nyolc, 2³És azoknak az olvasóknak, akik nemrég fejezték be az iskolát, szeretnék felidézni a megfelelő képletet:

A képletben szereplő Newtoni szimbólumok mindegyike meghatározza a k elemű halmazok számát az -elem halmazban.

A matematikában a binomiális együtthatók sok más helyen is megjelennek, például a csökkentett szorzás érdekes képleteiben:

pontos formájukból pedig egymásrautaltságuk sokkal érdekesebb.

Nehéz megérteni, hogy mi - ami a logikát és a matematikát illeti - és mi a Minden nem. Érvek a nemlét mellett Ugyanúgy, mint Micimackóé, aki udvariasan megkérdezte vendégétől, Tigristől, szeretik-e egyáltalán a tigrisek a mézet, a makkot és a bogáncsot? „A tigrisek mindent szeretnek” – válaszolta az, akiből Kubus arra a következtetésre jutott, hogy ha minden tetszik nekik, akkor a földön is szeretnek aludni, ezért ő, Vinnie, visszatérhet az ágyba.

Még egy érv Russell paradoxona. Van a városban egy borbély, aki megborotválja az összes férfit, aki nem borotválja magát. Borotválja magát? Mindkét válasz ellentmond annak a feltételnek, hogy megölik azokat, és csak azokat, akik ezt maguk nem teszik meg.

Az összes gyűjtemény gyűjteményét keresem

Befejezésül adok egy okos, de a legmatematikaibb bizonyítékot arra, hogy nem létezik minden halmaz (nem tévesztendő össze vele).

Először is megmutatjuk, hogy bármely nem üres X halmazhoz lehetetlen olyan kölcsönösen egyedi függvényt találni, amely ezt a halmazt leképezi a P(X) részhalmazainak halmazára. Tehát tegyük fel, hogy ez a függvény létezik. Jelöljük a hagyományos f-vel. Mi az f x-ből? Ez egy gyűjtemény. xf az x-hez tartozik? Ez ismeretlen. Vagy kell, vagy nem. De néhány x esetében még mindig olyannak kell lennie, hogy ne tartozzon x-ből az f-hez. Nos, akkor vegyük figyelembe mindazon x-ek halmazát, amelyekre x nem tartozik f(x-hez). Jelölje (ezt a halmazt) A-val. Az X halmaz valamelyik a elemének felel meg. A tartozik-e A-hoz? Tegyük fel, hogy kell. De A egy halmaz, amely csak az x elemeit tartalmazza, amelyek nem tartoznak f(x)-hez... Nos, lehet, hogy nem tartozik A-hoz? De az A halmaz tartalmazza ennek a tulajdonságnak az összes elemét, és így az A-t is. A bizonyítás vége.

Ezért, ha létezne valamennyi halmaz halmaza, az maga is egy részhalmaza lenne, ami az előző érvelés szerint lehetetlen.

Fú, nem hiszem, hogy sok olvasó látta ezt a bizonyítékot. Inkább azért hoztam fel, hogy megmutassam, mit kellett tenniük a matematikusoknak a tizenkilencedik század végén, amikor elkezdték tanulmányozni saját tudományuk alapjait. Kiderült, hogy a problémák ott vannak, ahol senki sem számított rájuk. Sőt, az egész matematika szempontjából ezek az alapokra vonatkozó érvelések nem számítanak: nem számít, mi történik a pincékben - a matematika egész épülete szilárd sziklán áll.

Eközben a tetején...

Stanislav Lem történeteiből még egy erkölcsöt említünk. Egyik utazása során Iyon Tichi eljutott egy bolygóra, amelynek lakói hosszú evolúció után végre elérték a fejlődés legmagasabb fokát. Mindannyian erősek, bármire képesek, minden a kezük ügyében van… és nem csinálnak semmit. Lefekszenek a homokra, és az ujjaik közé öntik. „Ha minden lehetséges, nem éri meg” – magyarázzák a döbbent Ijonnak. Ne történjen ez meg európai civilizációnkkal...