HOGY KINEK, azaz: PRÓBÁLJA KI AHOL TUDSZ – 2. rész

Az előző részben a Sudokuval, egy számtani játékkal foglalkoztunk, amelyben a számok alapvetően különböző diagramokba vannak rendezve bizonyos szabályok szerint. A leggyakoribb változat a 9×9-es sakktábla, amely ráadásul kilenc 3×3-as cellára van osztva. Az 1-től 9-ig terjedő számokat úgy kell beállítani, hogy ne ismétlődjenek sem függőleges sorban (a matematikusok szerint: oszlopban), sem vízszintes sorban (a matematikusok szerint: sorban) - és ráadásul úgy, hogy nem ismétlik. ismételje meg bármelyik kisebb négyzeten belül.

Na ábra. 1 ezt a feladványt egy egyszerűbb változatban látjuk, ami egy 6 × 6-os négyzet, amelyet 2 × 3 téglalapra osztanak, és beleszúrjuk az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számokat - hogy ne ismétlődjenek függőlegesen, sem vízszintesen, sem a kiválasztott hatszögek mindegyikében.

Próbáljuk meg a felső négyzetben láthatót. Ki tudod tölteni 1-től 6-ig terjedő számokkal a játék szabályai szerint? Lehetséges – de kétértelmű. Lássuk - rajzoljon egy négyzetet a bal oldalon vagy egy négyzetet a jobb oldalon.

Mondhatjuk, hogy nem ez az alapja a rejtvénynek. Általában azt feltételezzük, hogy egy rejtvénynek egy megoldása van. A "nagy" Sudoku, 9x9 különböző alapjainak megtalálása nehéz feladat, és nincs esély a teljes megoldásra.

Egy másik fontos összefüggés az ellentmondásos rendszer. Az alsó középső négyzet (a jobb alsó sarokban a 2-es szám) nem tölthető ki. Miért?

Szórakozás és visszavonulás

Játsszunk tovább. Használjuk a gyerekek intuícióját. Úgy gondolják, hogy a szórakozás bevezető a tanulásba. Menjünk az űrbe. bekapcsolva ábra. 2 mindenki látja a rácsot tetraéderlabdákból, például ping-pong labdákból? Idézzük fel az iskolai geometria órákat. A kép bal oldalán lévő színek elmagyarázzák, hogy mire van ragasztva a blokk összeszerelésénél. Különösen három sarok (piros) golyó lesz ragasztva egybe. Ezért a számoknak azonosnak kell lenniük. Talán 9. Miért? És miért nem?

Ó, nem fogalmaztam feladatokat. Valahogy így hangzik: be lehet-e írni a számokat 0-tól 9-ig a látható rácsba úgy, hogy minden lapon szerepeljen az összes szám? A feladat nem nehéz, de mennyit kell elképzelni! Nem fogom elrontani az olvasók örömét, és nem adok megoldást.

Ez egy nagyon szép és alábecsült forma. szabályos oktaéder, két piramisból (=piramisokból) épült, négyzet alakú alappal. Ahogy a neve is sugallja, az oktaédernek nyolc lapja van.

Egy oktaédernek hat csúcsa van. Ez ellentmond kockaamelynek hat lapja és nyolc csúcsa van. Mindkét csomó széle azonos - tizenkét darab. Ez kettős szilárd anyagok - ez azt jelenti, hogy a kocka lapjainak középpontjainak összekapcsolásával egy oktaédert kapunk, az oktaéder lapjainak középpontjai pedig egy kockát adnak. Mindkét ütés működik ("mert muszáj") Euler képlet: A csúcsok számának és a lapok számának összege 2-vel több, mint az élek száma.

3. Párhuzamos vetületű szabályos oktaéder és gömbökből összeállított oktaéderrács úgy, hogy minden élnek négy gömbje van.

1 feladat. Először is írja le az előző bekezdés utolsó mondatát egy matematikai képlet segítségével. A ábra. 3 egy oktaéderes rácsot lát, amely szintén gömbökből áll. Minden élen négy golyó van. Mindegyik lap tíz gömbből álló háromszög. A feladatot egymástól függetlenül állítjuk be: lehet-e 0-tól 9-ig számokat tenni a rács köreibe úgy, hogy egy tömör test felragasztása után minden fal tartalmazza az összes számot (ebből következik, hogy ismétlés nélkül). Mint korábban, ebben a feladatban a legnagyobb nehézséget az jelenti, hogy a háló hogyan alakul át szilárd testté. Írásban nem tudom elmagyarázni, ezért itt sem adom meg a megoldást.

4. Két ikozaéder ping-pong labdákból. Figyelje meg az eltérő színsémát.

már Plató (és a Kr. e. XNUMX-XNUMX. században élt) ismerte az összes szabályos poliédert: tetraéder, kocka, oktaéder, dodekaéder i ikozaéder. Elképesztő, hogyan került oda – se ceruza, se papír, se toll, se könyvek, se okostelefon, se internet! A dodekaéderről itt nem beszélek. De az ikozaéder sudoku érdekes. Látjuk ezt a csomót 4. ábraés annak hálózata 5. ábra.

5. Az ikozaéder szabályos hálója.

Mint korábban, ez sem egy rács abban az értelemben, ahogyan az iskolából emlékszünk (?!), hanem egy módja annak, hogy háromszögeket ragasszunk golyókból (golyókból).

2 feladat. Hány golyó kell egy ilyen ikozaéder felépítéséhez? Továbbra is igaz a következő okfejtés: mivel minden lap egy háromszög, ha 20 lapnak kell lennie, akkor akár 60 gömbre van szükség?

6. Ikozaéder hálója gömbökből. Mindegyik kör például egy ping-pong labda, de az azonos színnel jelölt körökön lévő körök felépítése eggyé olvad. Tehát tizenkét gömbünk van (= tizenkét csúcs: piros, kék, lila, kék és nyolc sárga).

Könnyen belátható, hogy az ikozaéderben három szám nem elég. Pontosabban: lehetetlen felsorolni a csúcsokat 1, 2, 3 számokkal úgy, hogy minden (háromszögletű) lapon ez a három szám szerepeljen, és ne legyen ismétlés. Lehetséges négy számmal? Igen, lehetséges! Nézzük Rizs. 6. és 7.

7. Így kell számozni az ikozaédert alkotó gömböket úgy, hogy mindegyik lapon 1, 2, 3, 4-től eltérő számok szerepeljenek. 4 ilyen színű?

3 feladat. A négy szám közül hármat négyféleképpen választhatunk ki: 123, 124, 134, 234. Keressünk öt ilyen háromszöget az ikozaéderben az ábrán. 7 (valamint től illusztrációk 4).

4. feladat (nagyon jó térbeli képzelőerő kell hozzá). Az ikozaédernek tizenkét csúcsa van, ami azt jelenti, hogy tizenkét golyóból lehet összeragasztani (ábra. 7). Figyeld meg, hogy három csúcs (= golyó) van 1-essel, három 2-vel és így tovább. Így az azonos színű golyók háromszöget alkotnak. Mi ez a háromszög? Esetleg egyenlő oldalú? Nézd meg újra illusztrációk 4.

A következő feladat a nagypapa / nagymama és unokája / unokája számára. Végre a szülők is kipróbálhatják magukat, de türelemre és időre van szükségük.

5 feladat. Vásároljon tizenkét (lehetőleg 24) ping-pong labdát, négy színű festéket, ecsetet és megfelelő ragasztót – nem ajánlom a gyorsakat, mint a Superglue vagy a Droplet, mert túl gyorsan száradnak és veszélyesek a gyerekekre. Ragassza fel az ikozaédert. Öltöztesd az unokáját olyan pólóba, amelyet utána azonnal kimosnak (vagy kidobnak). Fedjük le az asztalt fóliával (lehetőleg újságokkal). Óvatosan színezze ki az ikozaédert négy színnel (1, 2, 3, 4), amint az az ábrán látható. ábra. 7. Módosíthatja a sorrendet - először színezze ki a lufikat, majd ragassza fel őket. Ugyanakkor az apró köröket festetlenül kell hagyni, hogy a festék ne ragadjon rá a festékre.

Most a legnehezebb feladat (pontosabban a teljes sorozatuk).

6. feladat (Pontosabban az általános téma). Ábrázolja az ikozaédert tetraéderként és oktaéderként Rizs. 2. és 3 Ez azt jelenti, hogy minden élen négy golyónak kell lennie. Ebben a változatban a feladat egyszerre időigényes, sőt költséges is. Kezdjük azzal, hogy megtudja, hány golyóra van szüksége. Minden lapnak tíz gömbje van, tehát az ikozaédernek kétszázra van szüksége? Nem! Emlékeznünk kell arra, hogy sok labdát osztanak meg. Hány éle van egy ikozaédernek? Gondosan ki lehet számítani, de mire való az Euler-képlet?

w–k+s=2

ahol w, k, s a csúcsok, élek és lapok száma, rendre. Emlékezzünk rá, hogy w = 12, s = 20, ami azt jelenti, hogy k = 30. Az ikozaédernek 30 éle van. Csinálhatod másképp is, mert ha 20 háromszög van, akkor csak 60 élük van, de abból kettő közös.

Számítsuk ki, hány golyóra van szükségünk. Minden háromszögben csak egy belső golyó van - sem a testünk tetején, sem nem a szélén. Így összesen 20 ilyen labdánk van. 12 csúcs van. Mindegyik élnek két nem csúcspontja van (az élen belül vannak, de nem a lapon belül). Mivel 30 él van, 60 golyó van, de ebből kettő közös, ami azt jelenti, hogy csak 30 golyóra van szüksége, tehát összesen 20 + 12 + 30 = 62 golyóra van szüksége. A labdákat legalább 50 fillérért lehet venni (általában drágábban). Ha hozzáadja a ragasztó költségét, akkor kijön ... sok. A jó ragasztás több órás fáradságos munkát igényel. Együtt alkalmasak egy pihentető időtöltésre - ajánlom őket például tévézés helyett.

Visszavonulás 1. Andrzej Wajda Évek, napok című filmsorozatában két férfi sakkozik, „mert valahogy el kell ütniük az időt a vacsoráig”. Galíciai Krakkóban játszódik. Valóban: az újságokat már olvasták (akkor 4 oldal volt), a tévét és a telefont még nem találták fel, focimeccsek nincsenek. Unalom a tócsákban. Ilyen helyzetben az emberek szórakozást találtak ki maguknak. Ma a távirányító megnyomása után megvannak...

Visszavonulás 2. A Matematikatanárok Egyesületének 2019-es ülésén egy spanyol professzor bemutatott egy számítógépes programot, amellyel bármilyen színre festhető tömör falak. Kicsit hátborzongató volt, mert csak a kezeket rajzolták, szinte levágták a testet. Gondoltam magamban: mennyit lehet szórakozni egy ilyen "árnyékoláson"? Minden két percig tart, és a negyedikben már nem emlékszünk semmire. Eközben a régimódi „kézimunka” megnyugtat és nevel. Aki nem hiszi, próbálkozzon.

Térjünk vissza a XNUMX. századba és a mi valóságunkba. Ha nem akarunk lazítást golyók időigényes ragasztása formájában, akkor legalább egy ikozaéder rácsot rajzolunk, amelynek élei négy golyós. Hogyan kell csinálni? Vágd fel jól 6. ábra. A figyelmes olvasó már sejti a problémát:

7 feladat. Meg lehet-e sorolni a golyókat 0 és 9 közötti számokkal úgy, hogy ezek a számok egy ilyen ikozaéder minden lapján megjelenjenek?

Minek fizetnek?

Manapság gyakran feltesszük magunknak a kérdést, hogy mi a tevékenységünk célja, és a "szürke adófizető" felteszi a kérdést, hogy miért kell fizetnie a matematikusoknak az ilyen rejtvények megoldásáért?

A válasz nagyon egyszerű. Az ilyen „rejtvények”, amelyek önmagukban is érdekesek, „valami komolyabb töredékei”. Hiszen a katonai parádék csak külső, látványos részei egy nehéz szolgálatnak. Csak egy példát mondok, de egy furcsa, de nemzetközileg elismert matematikai tárggyal kezdem. 1852-ben egy angol diák megkérdezte professzorát, hogy lehet-e négy színnel kiszínezni egy térképet úgy, hogy a szomszédos országok mindig más színnel jelenjenek meg? Hadd tegyem hozzá, hogy nem tekintjük „szomszédnak” azokat, akik csak egy ponton találkoznak, mint például Wyoming és Utah állam az Egyesült Államokban. A professzor nem tudta... és a probléma több mint száz éve várt megoldásra.

8. Ikozaéder RECO blokkokból. A vaku reflektorok megmutatják, mi a közös az ikozaéderben a háromszöggel és az ötszöggel. Öt háromszög konvergál minden csúcsban.

Nem várt módon történt. 1976-ban amerikai matematikusok egy csoportja programot írt a probléma megoldására (és úgy döntöttek: igen, négy szín mindig elég lesz). Ez volt az első bizonyítéka egy „matematikai gép” – így fél évszázaddal ezelőtt a számítógépnek (sőt még korábban: „elektronikus agy”) – segítségével nyert matematikai ténynek.

Itt van egy speciálisan bemutatott „Európa térkép” (ábra. 9). Azok az országok, amelyeknek közös határa van, összekapcsolódnak. A térkép színezése ugyanaz, mint a grafikon köreinek színezése (úgynevezett grafikon), hogy egyetlen összekapcsolt kör se legyen azonos színű. Egy pillantást vetve Liechtensteinre, Belgiumra, Franciaországra és Németországra, kiderül, hogy három szín nem elég. Ha úgy tetszik, Olvasó, fessen négy színnel.

9. Ki kivel határos Európában?

Hát igen, de megéri az adófizetők pénzét? Nézzük tehát ugyanazt a grafikont egy kicsit másképp. Felejtsd el, hogy vannak államok és határok. A körök szimbolizálják az egyik pontból a másikba küldendő információs csomagokat (például P-ből EST-be), a szegmensek pedig lehetséges kapcsolatokat, amelyek mindegyikének megvan a maga sávszélessége. Elküldi a lehető leghamarabb?

Először nézzünk meg egy nagyon leegyszerűsített, de matematikai szempontból is nagyon érdekes helyzetet. Valamit el kell küldenünk az S pontból (= kezdésként) M pontba (= befejezés) azonos sávszélességű kapcsolati hálózaton, mondjuk 1. Ezt látjuk ábra. 10.

10. Statsyika Zdrój és Megapolis közötti kapcsolatrendszer.

Képzeljük el, hogy körülbelül 89 bitnyi információt kell S-ből M-be küldeni. E szavak írója szereti a vonatokkal kapcsolatos problémákat, ezért azt képzeli, hogy a Stacie Zdrójnál van menedzser, ahonnan 144 vagont kell kiküldenie. a metropolisz állomásra. Miért pont 144? Mert, amint látni fogjuk, ez lesz az egész hálózat áteresztőképességének kiszámítása. A kapacitás minden tételben 1, i.e. időegységenként egy autó haladhat át (egy információs bit, esetleg Gigabyte is).

Gondoskodjunk arról, hogy minden autó egyszerre találkozzon M-ben. 89 időegység alatt mindenki odaér. Ha van egy nagyon fontos információs csomagom S-től M-ig, amit el kell küldenem, 144 egységből álló csoportokra bontom, és a fentiek szerint továbbítom. A matematika garantálja, hogy ez lesz a leggyorsabb. Honnan tudtam, hogy 89 kell? Valójában sejtettem, de ha nem sejtettem, ki kell találnom Kirchhoff-egyenletek (emlékszik valaki? - ezek az áram áramlását leíró egyenletek). A hálózati sávszélesség 184/89, ami körülbelül 1,62.

Az örömről

Amúgy a 144-es szám tetszik. Szerettem ezzel a számmal busszal a varsói Vár térre menni - amikor még nem volt mellette felújított királyi kastély. Talán a fiatal olvasók tudják, mi az a tucat. Ez 12 példány, de csak az idősebb olvasók emlékeznek rá, hogy egy tucat, pl. 122=144, ez az úgynevezett tétel. És ezt mindenki, aki az iskolai tantervnél kicsit jobban ismeri a matematikát, azonnal megérti ábra. 10 Fibonacci-számaink vannak, és a hálózati sávszélesség közel van az "arany számhoz"

A Fibonacci-sorozatban a 144 az egyetlen szám, amely tökéletes négyzet. A száznegyvennégy is "örömteli szám". Így egy indiai amatőr matematikus Dattatreya Ramachandra Caprecar 1955-ben olyan számokat nevezett meg, amelyek oszthatók az alkotó számjegyeik összegével:

Ha tudta volna Mickiewicz Ádám, minden bizonnyal nemet írt volna Dzyadyban: „Egy idegen anyától; vére régi hősei / És neve negyvennégy, csak elegánsabb: És neve száznegyvennégy.

Vedd komolyan a szórakozást

Remélem, sikerült meggyőzni az olvasókat arról, hogy a Sudoku rejtvények a szórakoztató oldala azoknak a kérdéseknek, amelyeket mindenképpen érdemes komolyan venni. Ezt a témát nem tudom tovább fejleszteni. Ó, a teljes hálózati sávszélesség kiszámítása a mellékelt diagramból ábra. 9 egy egyenletrendszer felírása két vagy több órát vesz igénybe – talán több tíz másodpercig (!) is számítógépes munkát végez.