Színes négyzetek és napfogyatkozások

A cikk ismerteti a középiskolásoknak - az Országos Gyermekalap ösztöndíjasainak - tartott óráimat. Az alapítvány különösen tehetséges gyerekeket és fiatalokat keres (az általános iskola XNUMX. osztályától a gimnáziumig), és "ösztöndíjakat" ajánl a kiválasztott diákoknak. Ezek azonban egyáltalán nem készpénzfelvételből állnak, hanem a tehetségek kibontakoztatásának átfogó gondozásából, általában sok éven át. Sok más ilyen típusú projekttől eltérően ismert tudósok, kulturális személyiségek, kiemelkedő humanisták és más bölcsek, valamint néhány politikus komolyan veszi az Alapítvány gondozottjait.

Az Alapítvány tevékenysége kiterjed minden olyan tudományágra, amely alapiskolai tantárgy, kivéve a sport, ezen belül a művészet. Az alapot 1983-ban hozták létre az akkori valóság ellenszereként. A pénztárba bárki jelentkezhet (általában iskolán keresztül, lehetőleg a tanév vége előtt), de természetesen van egy szita, egy bizonyos minősítési eljárás.

Ahogy már említettem, a cikk a 2016 márciusában, a III. gimnázium 24. alsó tagozatos középiskolájában tartott mesterkurzusaim alapján készült, konkrétan Gdyniában. Haditengerészet. Ezeket a szemináriumokat évek óta az Alapítvány égisze alatt szervezi Wojciech Thomalczyk, egy rendkívüli karizmával és magas intellektuális szinttel rendelkező tanár. 2008-ban Lengyelországban bekerült a legjobb tíz közé, akik megkapták a pedagógia professzori címet (amit sok évvel ezelőtt a törvény biztosított). Kis túlzás van abban az állításban: „Az oktatás a világ tengelye”.

és a holdat mindig lenyűgözőek - akkor érezheti, hogy egy apró bolygón élünk egy hatalmas térben, ahol minden mozgásban van, centiméterekben és másodpercekben mérve. Még egy kicsit meg is ijeszt, az időperspektíva is. Megtudjuk, hogy a következő teljes napfogyatkozás, amely a mai Varsó környékéről látható, 2681-ben lesz. Kíváncsi vagyok, ki fogja látni? A Nap és a Hold látszólagos mérete az égbolton szinte megegyezik – ezért olyan rövidek és látványosak a fogyatkozások. Évszázadokra elegendőnek kell lennie ezeknek a rövid perceknek ahhoz, hogy a csillagászok lássák a napkoronát. Furcsa, hogy évente kétszer fordulnak elő... de ez csak azt jelenti, hogy valahol a Földön rövid ideig láthatók. Az árapálymozgások hatására a Hold távolodik a Földtől - 260 millió év múlva olyan messze lesz, hogy mi (mi???) csak gyűrűs fogyatkozásokat fogunk látni.

Nyilván az első, aki megjósolta fogyatkozás, a milétoszi Thalész volt (Kr. e. 28-585. század). Valószínűleg nem fogjuk megtudni, hogy valóban megtörtént-e, vagyis megjósolta-e, mert az a tény, hogy a kis-ázsiai napfogyatkozás Kr.e. 567. májusában következett be, modern számítások által megerősített tény. Természetesen a mai időszámításra vonatkozó adatokat idézem. Gyerekkoromban elképzeltem, hogyan számolják az emberek az éveket. Tehát ez például a Kr.e. 566., jön a szilveszter, és az emberek örülnek: csak Kr.e. XNUMX. év! Mennyire örülhettek, amikor végre elérkezett a „mi korszakunk”! Micsoda évezredfordulót éltünk át néhány évvel ezelőtt!

A dátumok és tartományok kiszámításának matematikája napfogyatkozások, nem különösebben bonyolult, de tele van mindenféle szabályszerűséggel, és ami még rosszabb, a test egyenetlen mozgásával a pályán. Még ezt a matekot is szeretném tudni. Hogyan tudta Milétusi Thalész elvégezni a szükséges számításokat? A válasz egyszerű. Kell lennie egy égbolttérképnek. Hogyan készítsünk ilyen térképet? Ez szintén nem nehéz, az ókori egyiptomiak tudták, hogyan kell csinálni. Éjfélkor két pap jön ki a templom tetejére. Mindegyikük leül, és lerajzolja, amit lát (mint a kollégája). Kétezer év után mindent tudunk a bolygók mozgásáról...

Gyönyörű geometria, vagy szórakozás a "szőnyegen"

A görögök nem szerették a számokat, a geometriához folyamodtak. Ezt fogjuk tenni. A miénk fogyatkozás egyszerűek, színesek, de ugyanolyan érdekesek és valódiak lesznek. Elfogadjuk azt a konvenciót, hogy a kék alak úgy mozog, hogy elhomályosítja a pirosat. Nevezzük a kék alakot holdnak, a vörös alakot pedig napnak. A következő kérdéseket tesszük fel magunknak:

1. meddig tart a napfogyatkozás;
2. amikor a cél felét lefedték;

   Rizs. 1 Többszínű "szőnyeg" a nappal és a holddal

3. mi a maximális lefedettség;
4. lehet elemezni a pajzs lefedettségének időfüggőségét? Ebben a cikkben (a szöveg mennyisége korlátoz engem) a második kérdésre fogok összpontosítani. E mögött egy szép geometria van, talán unalmas számítások nélkül. Nézzük az ábrát. 1. Feltételezhető, hogy összefüggésbe hozható ... napfogyatkozással?

Őszintén meg kell mondanom, hogy azok a feladatok, amelyekről beszélni fogok, speciálisan kiválasztottak lesznek, igazodva a közép- és középiskolások tudásához és készségeihez. De olyan feladatokra edzünk, hogy a zenészek skáláznak, a sportolók pedig általános fejlesztő gyakorlatokat végeznek. Különben is, nem csak egy gyönyörű szőnyeg (1. ábra)?

Rizs. 2 "Kék" Hold és "Vörös" Nap

Égitesteink, legalábbis kezdetben, színes négyzetek lesznek. A hold kék, a nap piros (színezésre a legjobb). a jelennel fogyatkozás A Hold üldözi a napot az égen, utoléri... és bezárja. Nálunk is így lesz. A legegyszerűbb eset, amikor a Hold a Naphoz képest mozog, amint az ábra mutatja. 2. A fogyatkozás akkor kezdődik, amikor a Hold korongjának széle érinti a Nap korongjának szélét (2. ábra), és akkor ér véget, amikor túllép rajta.

Rizs. 3 A Hold átlósan közelít a Naphoz

Feltételezzük, hogy a "Hold" időegységenként egy cellát mozgat, például percenként. A fogyatkozás ekkor nyolc időegységig, mondjuk percig tart. Fél napfogyatkozások teljesen halvány A számlap fele kétszer záródik: 2 és 6 perc múlva. A százalékos elhomályosítási grafikon egyszerű. Az első két percben a pajzs egyenletesen, nullától 1-ig terjedő sebességgel zár, a következő két percben ugyanilyen sebességgel exponálódik.

Itt van egy érdekesebb példa (3. ábra). A Hold átlósan közelít a Naphoz. Percfizetési megállapodásunk szerint a napfogyatkozás 8√-ig tart2 perc – ennek az időnek a közepén teljes napfogyatkozásunk van. Számítsuk ki, hogy t idő után a nap mely részét fedi le (3. ábra). Ha t perc telt el a fogyatkozás kezdete óta, és ennek eredményeként a Hold az ábrán látható. 5, akkor (figyelem!) Ezért le van fedve (az APQR négyzet területe), egyenlő a napkorong felével, tehát akkor volt lefedve, amikor pl. 4 perc múlva (majd 4 perccel a napfogyatkozás vége előtt).

Rizs. 4 Az "árnyékoló" függvény grafikonja

Totalitás egy pillanatig tart (t = 4√2), az „árnyékolt rész” függvény grafikonja pedig két parabolaívből áll (4. ábra).

Kék holdunk a sarkot érinti majd a piros nappal, de nem átlósan, hanem enyhén átlósan eltakarja, érdekes geometria jelenik meg, ha kicsit megnehezítjük a mozgást (6. ábra). A mozgás iránya most vektor [4,3], azaz "négy cella jobbra, három cella felfelé". A Nap helyzete olyan, hogy a fogyatkozás akkor kezdődik (A pozíció), amikor az "égitestek" oldalai hosszuk negyedéhez közelednek. Amikor a Hold B pozícióba kerül, a Nap egyhatodát, C pozícióban pedig a felét eltakarja. A D pozícióban teljes napfogyatkozást tartunk, majd minden visszamegy, „úgy, ahogy volt”.

Rizs. 5 A Nap egy része a t idő alatt rejtve

A fogyatkozás akkor ér véget, amikor a Hold G állásban van. Addig tartott szakasz hossza AG. Ha, mint korábban, időegységnek vesszük azt az időt, ameddig a Hold elhalad egy négyzeten, akkor az AG hossza egyenlő. Ha visszatérnénk ahhoz a régi konvencióhoz, hogy égitestünk 4:4, akkor az eredmény más lenne (mi?). Amint az könnyen látható, a célpont t < 15 után bezárul. A „képernyőfedettség százalékos aránya” függvény grafikonja az 6. ábrán látható. XNUMX.

Rizs. 6 A "százalékos védelem" függvény grafikonja

Napfogyatkozás és ugrás egyenlete

Rizs. 7 A napkorong akadályozása az ábrán látható fogyatkozás során. 6

A fogyatkozások problémája hiányos lenne, ha nem vennénk figyelembe a körök esetét. Ez sokkal bonyolultabb, de próbáljuk meg kitalálni, hogy az egyik kör mikor takarja el a másik felét - és a legegyszerűbb esetben, amikor az egyik a kettőt összekötő átmérő mentén mozog. A rajz néhány hitelkártya tulajdonosa számára ismerős.

A mezők helyzetének kiszámítása bonyolult, mivel egyrészt a körszakasz területének képletének ismeretét, másrészt a szög ívének ismeretét, harmadrészt (és ami a legrosszabb) a képességet igényli. egy bizonyos ugrásegyenlet megoldására. Nem magyarázom el, mi az a "tranzitív egyenlet", nézzünk egy példát (8. ábra).

Rizs. 8 "Gömb" fogyatkozás

A kör alakú szakasz az a "tál", amely az egyenes vonalú kör vágása után marad. Egy ilyen szakasz területe S = 1/2r²(φ-sinφ), ahol r a kör sugara, φ pedig a középponti szög, amelyen a szakasz felfekszik (8. ábra). Ezt könnyen megkaphatja, ha kivonja a háromszög területét a kör alakú szektor területéből.

O. epizód₁O₂ (a körök középpontjai közötti távolság) ekkor egyenlő 2rcosφ/2-vel, a magasság (szélesség, „derékvonal”) h = 2rsinφ/2. Tehát, ha ki akarjuk számolni, hogy a Hold mikor fedi be a napkorong felét, meg kell oldanunk az egyenletet: ami egyszerűsítés után a következő lesz:

Rizs. 9 Két függvény grafikonja

Az ilyen egyenletek megoldása túlmutat az egyszerű algebrán - az egyenlet mindkét szöget és azok trigonometrikus függvényeit tartalmazza. Az egyenlet túlmutat a hagyományos módszereken. Ezért hívják ugrani. Először nézzük meg mindkét függvény grafikonját, azaz a függvényeket és a függvényeket, ebből az ábrából egy közelítő megoldást olvashatunk. Kaphatunk azonban iteratív közelítést, vagy… használhatjuk a Solver opciót az Excel táblázatban. Ezt minden középiskolás diáknak meg kell tudnia csinálni, mert itt a XX. Egy kifinomultabb Mathematica eszközt használtam, és itt van a megoldásunk 20 tizedesjegyekkel, szükségtelenül pontossággal:

SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Rizs. 10 Napfogyatkozás animációja a matematicában

Ezt 180/π-vel megszorozva fokokká alakítjuk. 132 fokot, 20 percet, 45-öt és negyed ívmásodpercet kapunk. Kiszámítjuk, hogy a kör középpontjának távolsága O₁O₂ = 0,808 sugár, és "derék" 2,310.