Geometriai utak és bozótok

A cikk írásakor eszembe jutott egy nagyon régi dala Jan Pietrzaktól, amelyet még a Lengyel Népköztársaságban biztonsági szelepként elismert Pod Egidą kabaréban végzett szatirikus tevékenysége előtt énekelt; őszintén lehetne nevetni a rendszer paradoxonjain. Ebben a dalban a szerző a szocialista politikai részvételt ajánlotta, kigúnyolta az apolitizálni vágyókat, és kikapcsolta a rádiót az újságban. „Jobb visszamenni az iskolába olvasni” – énekelte ironikusan az akkor XNUMX éves Petshak.

Visszamegyek az iskolába olvasni. Újraolvasom (nem először) Shchepan Yelensky (1881-1949) „Lylavati” című könyvét. Kevés olvasó számára a szó maga mond valamit. Ez a neve a híres hindu matematikus, Bhaskara (1114-1185) lányának, Akariának, vagy annak a bölcsnek, aki ezzel a névvel nevezte el algebráról szóló könyvét. Lilavati később maga is elismert matematikus és filozófus lett. Más források szerint ő maga írta a könyvet.

Szczepan Yelensky ugyanezt a címet adta matematikai könyvének (első kiadás, 1926). Talán még nehéz is matematikai műnek nevezni ezt a könyvet – inkább rejtvényhalmaz volt, és nagyrészt francia forrásokból írták át (a mai értelemben vett szerzői jogok nem léteztek). Mindenesetre hosszú éveken át ez volt az egyetlen népszerű lengyel matematikai könyv – később Jelensky második könyve, a Pythagoras's Weets került rá. Tehát a matematika iránt érdeklődő fiataloknak (ami egykor én is voltam) nem volt miből választani...

másrészt a "Lilavatit" szinte fejből kellett tudni... Á, voltak idők... Legnagyobb előnyük az volt, hogy akkor... tinédzser voltam. Ma egy jól képzett matematikus szemszögéből egészen másképp nézek Lilavatira - talán úgy, mint egy hegymászó a Shpiglasova Pshelench felé vezető út kanyarulatain. Sem egyik, sem a másik nem veszíti el varázsát... Jellegzetes stílusában a magánéletében az úgynevezett nemzeti eszméket valló Scsepan Jelenszkij az előszóban írja:

Anélkül, hogy a nemzeti sajátosságok leírását érintenék, azt mondom, hogy Jelenenszkij matematikáról szóló szavai még kilencven év után sem veszítették el aktualitásukat. A matematika megtanít gondolkodni. Ez egy tény. Megtaníthatunk másként, egyszerűbben és szebben gondolkodni? Lehet. Csak... még mindig nem tehetjük. Elmagyarázom a tanítványaimnak, akik nem akarnak matekozni, hogy ez egyben az intelligenciájuk próbája is. Ha nem tudod megtanulni az igazán egyszerű matematikai elméletet, akkor... lehet, hogy a szellemi képességeid rosszabbak, mint azt mindketten szeretnénk...?

Jelek a homokban

És itt van az első történet a "Lylavati"-ban - Joseph de Maistre (1753-1821) francia filozófus által leírt történet.

Egy összeroncsolódott hajó matrózát a hullámok egy üres partra sodorták, amelyet lakatlannak tartott. Hirtelen a part menti homokban megpillantotta valaki elé egy geometrikus alak nyomát. Ekkor jött rá, hogy a sziget nem lakott!

Mestrit idézve Jelenszkij ezt írja: geometriai ábranéma kifejezés lett volna a szerencsétlen, hajótöröttre, a véletlen, de egy pillantással megmutatta neki az arányt és a számot, és ez egy felvilágosult embert hirdetett. Ennyit a történelemről.

Ne feledje, hogy egy tengerész is ugyanezt a reakciót váltja ki, például a K betű megrajzolásával, ... és bármely más személy jelenlétének nyomával. Itt a geometria idealizálódik.

Camille Flammarion (1847-1925) csillagász azonban azt javasolta, hogy a civilizációk távolról köszöntsék egymást a geometria segítségével. Ebben látta az egyetlen helyes és lehetséges kommunikációs kísérletet. Mutassuk meg az ilyen marslakóknak a Pitagorasz háromszögeit... Thalesszel válaszolnak, mi Vieta mintákkal, körük egy háromszögbe illeszkedik, így barátság kezdődött...

Az olyan írók, mint Jules Verne és Stanislav Lem visszatértek ehhez az ötlethez. 1972-ben pedig geometriai (és nem csak) mintázatú csempék kerültek a Pioneer szonda fedélzetére, amely ma is bejárja a világűr kiterjedését, ma már csaknem 140 csillagászati ​​egységnyire tőlünk (1 I a Föld átlagos távolsága a Földtől) . Nap, azaz körülbelül 149 millió km). A csempét részben Frank Drake csillagász, a földönkívüli civilizációk számáról szóló, vitatott szabály megalkotója tervezte.

A geometria csodálatos. Mindannyian ismerjük e tudomány eredetének általános álláspontját. Mi (mi emberek) most kezdtük el a földet (majd később a földet) a leghasznosabb célok érdekében mérni. Fokozatosan szükségessé vált a távolságok meghatározása, az egyenesek rajzolása, a derékszögek megjelölése és a térfogatszámítás. Ezért az egész geometria („A Föld mérése”), ezért minden matematika ...

A tudománytörténetnek ez a tiszta képe azonban egy ideig elhomályosított bennünket. Ha ugyanis a matematikára kizárólag operatív célokra lenne szükség, nem foglalkoznánk egyszerű tételek bizonyításával. „Látod, hogy ennek egyáltalán igaznak kell lennie” – mondaná az ember, miután ellenőrizte, hogy több derékszögű háromszögben a befogók négyzeteinek összege megegyezik a befogó négyzetével. Miért ilyen formalizmus?

A szilvás lepénynek finomnak kell lennie, a számítógépes programnak, a gépnek kell működnie. Ha harmincszor megszámoltam a hordó űrtartalmát, és minden rendben van, akkor mi másért?

Időközben az ókori görögöknek az jutott eszébe, hogy valami formális bizonyítékot kell találni.

Tehát a matematika Thalészszel (i.e. 625-547) kezdődik. Feltételezik, hogy Milétosz volt az, aki azon töprengett, hogy miért. Az okos embereknek nem elég, hogy láttak valamit, hogy meg vannak győződve valamiről. Szükségesnek látták a bizonyítást, az érvek logikus sorozatát a feltevéstől a tézisig.

Ők is többet akartak. Valószínűleg Thalész próbálta először naturalista módon, isteni beavatkozás nélkül megmagyarázni a fizikai jelenségeket. Az európai filozófia a természetfilozófiával kezdődött - azzal, ami már a fizika (innen a név: metafizika) mögött van. De az európai ontológia és természetfilozófia alapjait a pitagoreusok fektették le (Püthagorasz, i. e. 580 körül – i. e. 500 körül).

Saját iskolát alapított az Appenninek-félsziget déli részén fekvő Crotone-ban – ma szektának neveznénk. A tudomány (a szó jelenlegi értelmében), a miszticizmus, a vallás és a fantázia szorosan összefonódik. Thomas Mann nagyon szépen mutatta be a matematika leckéket egy német gimnáziumban a Doktor Faustus című regényében. Maria Kuretskaya és Witold Virpsha fordításában ez a részlet így szól:

Charles van Doren A tudás története a történelem hajnalától napjainkig című érdekes könyvében egy nagyon érdekes nézőpontot találtam. Az egyik fejezetben a szerző ismerteti a pitagorasz iskola jelentőségét. Már a fejezet címe is megfogott. Ez így szól: "A matematika feltalálása: A pitagoreusok".

Gyakran vitatkozunk arról, hogy matematikai elméleteket fedeznek-e fel (pl. ismeretlen földek), vagy találnak ki (pl. olyan gépek, amelyek korábban nem léteztek). Egyes kreatív matematikusok kutatónak, mások feltalálónak vagy tervezőnek, ritkábban számlálónak tekintik magukat.

De ennek a könyvnek a szerzője általában a matematika feltalálásáról ír.

A túlzástól a káprázatig

E hosszú bevezető rész után rátérek a legelejére. geometriaannak leírására, hogy a geometriára való túlzott támaszkodás hogyan vezethet félre egy tudóst. Johannes Keplert a fizika és a csillagászat az égitestek három mozgási törvényének felfedezőjeként ismeri. Először is, a Naprendszer minden bolygója ellipszis alakú pályán kering a Nap körül, amelynek egyik fókuszában a Nap áll. Másodszor, szabályos időközönként a bolygó vezető sugara a Napból húzva egyenlő mezőket von be. Harmadszor, a bolygó Nap körüli forgási periódusának négyzetének és a pályája fél-nagytengelyének kockájához viszonyított aránya (azaz a Naptól való átlagos távolság) a Naprendszer összes bolygója esetében állandó.

Talán ez volt a harmadik törvény – ennek megállapításához sok adatra és számításra volt szükség, ami arra késztette Keplert, hogy folytassa a bolygók mozgásának és helyzetének mintáinak keresését. Új „felfedezésének” története igen tanulságos. Az ókor óta nemcsak szabályos poliédereket csodálunk, hanem olyan érveket is, amelyek azt mutatják, hogy csak öt van belőlük a térben. Egy háromdimenziós poliédert szabályosnak nevezünk, ha lapjai azonos szabályos sokszögek, és minden csúcsnak ugyanannyi éle van. Szemléltetésképpen egy szabályos poliéder minden sarkának „ugyanúgy kell kinéznie”. A leghíresebb poliéder a kocka. Mindenki látott már közönséges bokát.

A szabályos tetraéder kevésbé ismert, az iskolában szabályos háromszög piramisnak hívják. Úgy néz ki, mint egy piramis. A fennmaradó három szabályos poliéder kevésbé ismert. Oktaéder keletkezik, ha a kocka éleinek középpontját összekötjük. A dodekaéder és az ikozaéder már úgy néz ki, mint a golyó. Puha bőrből készültek, kényelmesek lennének ásni. Nagyon jó az az érvelés, hogy az öt platóni testen kívül nincs más szabályos poliéder. Először is rájövünk, hogy ha a test szabályos, akkor minden csúcsban ugyanannyi (legyen q) azonos szabályos sokszögnek kell konvergálnia, legyenek ezek p-szögek. Most emlékeznünk kell arra, hogy mi a szög egy szabályos sokszögben. Ha valaki nem emlékszik az iskolából, emlékeztetjük, hogyan találja meg a megfelelő mintát. Kirándultunk a sarkon. Minden csúcsban ugyanazon a szögön keresztül fordulunk be. Amikor megkerüljük a sokszöget és visszatérünk a kiindulóponthoz, p ilyen fordulatot tettünk, és összesen 360 fokot fordultunk.

De α a kiszámítani kívánt szög 180 fokos komplementere, ezért az

Megtaláltuk a szabályos sokszög szögének képletét (a matematikus azt mondaná: egy szög mértéke). Ellenőrizzük: a p = 3 háromszögben nincs a

Mint ez. Ha p = 4 (négyzet), akkor

a fok is jó.

Mit kapunk egy ötszögért? Tehát mi történik, ha van q sokszög, és mindegyik p-nek azonos a szöge

 fokok csökkennek egy csúcsban? Ha egy síkban lenne, akkor szög alakulna ki

fok, és nem lehet több 360 foknál – mert akkor a sokszögek átfedik egymást.

Mivel azonban ezek a sokszögek a térben találkoznak, a szögnek kisebbnek kell lennie, mint a teljes szög.

És itt van az egyenlőtlenség, amiből mindez következik:

Oszd el 180-zal, szorozd meg mindkét részt p-vel, sorrend (p-2) (q-2) < 4. Mi következik? Legyünk tisztában azzal, hogy p és q természetes számok, és hogy p > 2 (miért? És mi a p?), valamint q > 2. Nem sokféleképpen lehet két természetes szám szorzatát 4-nél kisebbre tenni. mindet felsorolom az 1. táblázatban.

Rajzokat nem posztolok, ezeket a figurákat mindenki láthatja az interneten... Az interneten... Nem utasítok el egy lírai kitérőt - talán érdekes a fiatal olvasóknak. 1970-ben egy szemináriumon beszéltem. Nehéz volt a téma. Kevés időm volt a készülődésre, esténként ültem. A fő cikk csak olvasható volt a helyén. Hangulatos volt a hely, munkás légkör, hát hétkor bezárt. Aztán a menyasszony (most a feleségem) maga ajánlotta fel, hogy átírja nekem az egész cikket: körülbelül egy tucat nyomtatott oldalt. Lemásoltam (nem, nem tollal, sőt volt tollaink is), az előadás jól sikerült. Ma megpróbáltam megtalálni ezt a már régi kiadványt. Csak a szerző nevére emlékszem... A keresések az interneten sokáig tartottak... teljes tizenöt percig. Mosolyogva és kissé indokolatlan sajnálkozással gondolok rá.

Visszamegyünk a Keplera és geometria. Nyilvánvalóan Platón megjósolta az ötödik szabályos forma létezését, mert hiányzott belőle valami egységesítő, az egész világot lefedő. Talán ezért utasított egy diákot (Theajtet), hogy keresse meg. Amilyen volt, olyan volt, ami alapján felfedezték a dodekaédert. Platón ezt az attitűdjét panteizmusnak nevezzük. Newtonig minden tudós kisebb-nagyobb mértékben hódolt neki. A rendkívül racionális tizennyolcadik század óta befolyása drasztikusan csökkent, bár nem kell szégyellnünk, hogy így vagy úgy mindannyian behódolunk neki.

Kepler naprendszer felépítési koncepciójában minden helyes volt, a kísérleti adatok egybeestek az elmélettel, az elmélet logikailag koherens, nagyon szép...de teljesen hamis. Az ő idejében csak hat bolygót ismertek: Merkúr, Vénusz, Föld, Mars, Jupiter és Szaturnusz. Miért csak hat bolygó van? – kérdezte Kepler. És milyen szabályszerűség határozza meg a Naptól való távolságukat? Azt feltételezte, hogy minden összefügg geometria és kozmogónia szoros kapcsolatban állnak egymással. Az ókori görögök írásaiból tudta, hogy csak öt szabályos poliéder létezik. Látta, hogy a hat pálya között öt üreg van. Tehát lehet, hogy ezek a szabad terek mindegyike valamilyen szabályos poliédernek felel meg?

Több éves megfigyelés és elméleti munka után megalkotta a következő elméletet, melynek segítségével meglehetősen pontosan kiszámította a pályák méreteit, amelyet az 1596-ban megjelent "Mysterium Cosmographicum" című könyvében mutatott be: Képzelj el egy óriási gömböt, amelynek átmérője a Merkúr pályájának átmérője a Nap körüli éves mozgásában. Akkor képzeld el, hogy ezen a gömbön van egy szabályos oktaéder, rajta egy gömb, rajta egy ikozaéder, rajta megint egy gömb, rajta egy dodekaéder, rajta egy másik gömb, rajta egy tetraéder, majd ismét egy gömb, egy kocka és végül ezen a kockán írják le a labdát.

Kepler arra a következtetésre jutott, hogy ezeknek az egymást követő gömböknek az átmérője más bolygók pályájának átmérője: a Merkúr, a Vénusz, a Föld, a Mars, a Jupiter és a Szaturnusz. Az elmélet nagyon pontosnak tűnt. Sajnos ez egybeesett a kísérleti adatokkal. És mi lehetne jobb bizonyíték egy matematikai elmélet helyességére, mint a kísérleti adatokkal vagy megfigyelési adatokkal való megfelelése, különösen az „égből vett” adatokkal? Ezeket a számításokat a 2. táblázatban foglalom össze. Mit csinált tehát Kepler? Addig próbálkoztam és próbálkoztam, amíg nem sikerült, vagyis amikor a konfiguráció (gömbök sorrendje) és a kapott számítások egybeestek a megfigyelési adatokkal. Íme a modern Kepler-számok és számítások:

Az ember behódol az elmélet bűvöletének, és azt hiheti, hogy az égi mérések pontatlanok, nem pedig a műhely csendjében végzett számítások. Sajnos ma már tudjuk, hogy legalább kilenc bolygó létezik, és az eredmények minden egybeesése csak véletlen egybeesés. Kár. Olyan szép volt...