Lem, Tokarcsuk, Krakkó, matematika

3. szeptember 7-2019-én került sor a Lengyel Matematikai Társaság jubileumi kongresszusára Krakkóban. Évforduló, mert a Társaság alapításának századik évfordulója. Galíciában az 1. évtől létezett (anélkül, hogy az FJ1919 császár lengyel-liberalizmusának megvoltak volna a határai), de országos szervezetként csak 1919-től működött. A lengyel matematika jelentős előrelépései az 1939-es XNUMX-XNUMX-ig nyúlnak vissza. XNUMX a lvivi Jan Casimir Egyetemen, de a kongresszusra nem kerülhetett sor – és ez sem a legjobb ötlet.

A találkozó nagyon ünnepi volt, tele kísérő eseményekkel (többek között Jacek Wojcicki előadásával a niepolomicei kastélyban). A fő előadásokat 28 előadó tartotta. Azért voltak lengyelül, mert a meghívott vendégek lengyelek voltak – nem feltétlenül állampolgárság értelmében, hanem azért, mert lengyelnek ismerik el magukat. Ja igen, mindössze tizenhárom oktató érkezett lengyel tudományos intézményekből, a maradék tizenöt az USA-ból (7), Franciaországból (4), Angliából (2), Németországból (1) és Kanadából (1) érkezett. Nos, ez egy jól ismert jelenség a futballbajnokságokban.

A legjobbak folyamatosan külföldön lépnek fel. Kicsit szomorú, de a szabadság az szabadság. Számos lengyel matematikus végzett olyan tengerentúli karriert, amely Lengyelországban elérhetetlen. A pénz itt másodlagos szerepet játszik, de nem szeretnék ilyen témákról írni. Talán csak két megjegyzés.

Oroszországban és előtte a Szovjetunióban ez volt és van a legtudatosabb szinten... és valahogy senki sem akar oda emigrálni. Németországban viszont körülbelül egy tucat jelölt jelentkezik bármely egyetem professzori posztjára (a Konstanzi Egyetem munkatársai elmondták, hogy egy év alatt 120 jelentkezésük volt, ebből 50 nagyon jó, 20 pedig kiváló).

A jubileumi kongresszusi előadások közül néhányat foglalhatunk össze havi folyóiratunkban. Az olyan fejlécek, mint „A ritka grafikonok és alkalmazásaik határai” vagy „Az alterek és faktorterek lineáris szerkezete és geometriája nagydimenziós normalizált terekhez” semmit sem mondanak el az átlagos olvasónak. A második témát a barátom vezette be az első tanfolyamokról, Nicole Tomchak.

Néhány éve jelölték az előadásban bemutatott teljesítményért. Fields-érem a matematikusok megfelelője. Eddig egyetlen nő kapta meg ezt a díjat. Érdemes megjegyezni az előadást is Anna Marcinyak-Chohra (Heidelbergi Egyetem) "A mechanikus matematikai modellek szerepe az orvostudományban a leukémia modellezés példáján".

belépett az orvostudományba. A Varsói Egyetemen a Prof. Jerzy Tyurin.

Az előadás címe érthetetlen lesz az Olvasók számára Veszlava Niziol (z prestiżowej Felső Pedagógiai Iskola) “- Hodge adic elmélete". Ennek ellenére úgy döntöttem, hogy itt megvitatom ezt az előadást.

Geometria - adic világok

Egyszerű apró dolgokkal kezdődik. Emlékszel, Olvasó, az írásbeli csere módszerére? Egyértelműen. Gondoljunk csak vissza az általános iskola gondtalan éveire. Ossza el az 125051-et 23-mal (ez a bal oldali művelet). Tudja, hogy ez másképp is lehet (jobboldali művelet)?

Érdekes ez az új módszer. A végéről megyek. 125051-et el kell osztanunk 23-mal. Mivel kell megszoroznunk a 23-at, hogy az utolsó számjegy 1 legyen? Keresés a memóriában, és megvan a :=7. Az eredmény utolsó számjegye 7. Szorozzuk, kivonjuk, 489-et kapunk. Hogyan szorozzuk meg a 23-at, hogy 9 legyen? Természetesen 3-mal. Odáig jutunk, hogy meghatározzuk az eredmény összes számát. Szerintünk nem praktikus és nehezebb, mint a megszokott módszerünk – de ez gyakorlás kérdése!

A dolgok másképp fordulnak, amikor a bátor embert nem osztja teljesen szét az osztó. Végezzük el a felosztást, és meglátjuk, mi történik.

A bal oldalon egy tipikus iskolai pálya. Jobb oldalon a "mi furcsánk".

Mindkét eredményt szorzással ellenőrizhetjük. Az elsőt értjük: a 4675-ös szám egyharmada ezerötszázötvennyolc, a periódusban pedig három. A másodiknak nincs értelme: mi ez a szám, amelyet végtelen számú hatos, majd 8225 előzi meg?

Hagyjuk a jelentés kérdését egy pillanatra. Játsszunk. Tehát osszuk el az 1-et 3-mal, majd az 1-et 7-tel, ami egyharmad és egy heted. Könnyen beszerezhetjük:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Ez az utolsó sor azt jelenti, hogy a 285714-es blokk korlátlanul ismétlődik az elején, és végül három van belőle. Aki nem hiszi, annak itt egy teszt:

Most adjunk hozzá törteket:

Ezután összeadjuk a kapott furcsa számokat, és ugyanazt a furcsa számot kapjuk (ellenőrizzük).

......95238095238095238095238010

Ellenőrizhetjük, hogy ez egyenlő-e

A lényeget még látni kell, de az aritmetika helyes.

Még egy példa.

A szokásos, bár nagy 40081787109376-os számnak van egy érdekessége: tere is 40081787109376-ban végződik. az x40081787109376 szám, ami ( x40081787109376)² x40081787109376-ra végződik.

Tipp. 40081787109376 számunk van²= 16065496 57881340081787109376, tehát a következő számjegy háromtól tízig komplementer, ami 7. Ellenőrizzük: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

Nehéz kérdés, hogy miért van ez így. Egyszerűbb: keress hasonló végződéseket az 5-re végződő számokhoz. Ha végtelenségig folytatjuk a következő számjegyek keresésének folyamatát, olyan „számokhoz” jutunk el, ²=²= (és e számok egyike sem egyenlő nullával vagy eggyel).

jól értjük. Minél távolabb van a tizedesvessző, annál kevésbé fontos a szám. A mérnöki számításoknál fontos a tizedesvessző utáni első számjegy, valamint a második, de sok esetben feltételezhető, hogy a kör kerületének és átmérőjének aránya 3,14. Természetesen több számot kell beletenni a légiközlekedési ágazatba, de nem hiszem, hogy tíznél többen lesznek.

A név szerepelt a cikk címében Stanislav Lem (1921-2006), valamint új Nobel-díjasunk. Hölgy Olga Tokarcsuk Ezt csak azért említettem kiáltó igazságtalanságotA helyzet az, hogy Stanislav Lem nem kapta meg az irodalmi Nobel-díjat. De nem a mi sarkunkban van.

Lem gyakran előre látta a jövőt. Kíváncsi volt, mi lesz, ha függetlenné válnak az emberektől. Hány film jelent meg mostanában ebben a témában! Lem egészen pontosan megjósolta és leírta az optikai olvasót és a jövő farmakológiáját.

Tudta a matematikát, bár néha díszként kezelte, nem törődve a számítások helyességével. Például a "Trial" című történetben a Pirks pilóta a B68-as pályára áll, 4 óra 29 perces forgási periódussal, az utasítás pedig 4 óra 26 perc. Úgy emlékszik, hogy 0,3 százalékos hibával számoltak. Átadja az adatokat a Számológépnek, és a számológép azt válaszolja, hogy minden rendben... Nos, nem. A 266 perc három tized százaléka kevesebb, mint egy perc. De ez a hiba változtat valamit? Lehet, hogy szándékosan?

Miért írok erről? Sok matematikus is felvetette ezt a kérdést: képzeljünk el egy közösséget. Nincs bennük a mi emberi eszük. Számunkra az 1609,12134 és az 1609,23245 nagyon közeli számok – jó közelítések az angol mérföldhöz. A számítógépek azonban közelinek tekinthetik a 468146123456123456 és a 9999999123456123456 számokat. Ugyanolyan tizenkét számjegyű végződésük van.

Minél gyakoribbak a számok a végén, annál közelebb vannak a számok. Ez pedig az úgynevezett távolsághoz vezet -adic. Legyen p egy pillanatig 10; miért csak „egy ideig”, elmagyarázom... most. A fent írt számok 10 pontos távolsága a 

vagy egy milliomod – mert ezeknek a számoknak hat közös számjegye van a végén. Minden egész szám eggyel vagy kevesebbel tér el nullától. Nem is írok sablont, mert mindegy. Minél több azonos szám a végén, annál közelebb vannak a számok (egy személy esetében éppen ellenkezőleg, a kezdeti számokat veszik figyelembe). Fontos, hogy p prímszám legyen.

Aztán - szeretik a nullákat és egyeseket, ezért mindent ezekben a mintákban látnak: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

A Glos Pana című regényben Stanisław Lem tudósokat fogad fel, hogy próbálják meg elolvasni a túlvilágról küldött üzenetet, természetesen nulla-egyes kóddal. Ír nekünk valaki? Lem amellett érvel, hogy "bármilyen üzenet elolvasható, ha az az üzenet, hogy valaki közölni akart velünk valamit." De vajon az? Meghagyom az olvasóknak ezt a dilemmát.

XNUMXD térben élünk R³. Levél R emlékeztet arra, hogy a tengelyek valós számokból, azaz egész számokból, negatív és pozitív számokból, nullákból, racionális (azaz törtekből) és irracionális számokból állnak, amelyekkel az olvasók az iskolában találkoztak (), valamint az algebrában elérhetetlen transzcendentális számokból (ez a π szám) , amely több mint kétezer éve köti össze egy kör átmérőjét a kerületével).

Mi lenne, ha a terünk tengelyei -adikus számok lennének?

Jerzy Mioduszowski, a Sziléziai Egyetem matematikusa amellett érvel, hogy ez így is lehet, sőt, akár így is lehet. Ugyanazt a helyet foglalhatjuk el (mondja Jerzy Mioduszewski) az ilyen lényekkel a térben anélkül, hogy beavatkoznánk és nem látnánk egymást.

Tehát „az ő” világuk geometriáját fel kell fedeznünk. Nem valószínű, hogy „ők” ugyanígy gondolkodnának rólunk, és a geometriánkat is tanulmányoznák, mert a miénk az összes „ő” világuk határesete. „Ők”, vagyis az összes pokoli világ, ahol prímszámok. Különösen a = 2 és ez a lenyűgöző nulla-egy világ...

Itt a cikk olvasója dühössé, sőt dühössé válhat. – Ez az a fajta hülyeség, amit a matematikusok művelnek? Arról fantáziálnak, hogy vacsora után vodkát isznak, meg az én (=adófizető) pénzemet. És oszlasd szét négy szélbe, hadd menjenek állami gazdaságokba... ó, nincs több állami gazdaság!

Lazíts. mindig is hajlamosak voltak az ilyen viccekre. Hadd említsem meg a szendvics-tételt: ha van sajtos-sonkás szendvicsem, akkor azt egy szeletbe vágva felezhetem a zsemlét, a sonkát és a sajtot. Ez a gyakorlatban hiábavaló. A lényeg az, hogy ez csak játékos alkalmazása a funkcionális elemzésből származó érdekes általános tételnek.

Mennyire komoly az -adic számokkal és a kapcsolódó geometriával foglalkozni? Hadd emlékeztessem az olvasót, hogy a racionális számok (leegyszerűsítve: törtek) sűrűn fekszenek a vonalon, de nem töltik ki szorosan.

Az irracionális számok „lyukakban” élnek. Sok, végtelenül sok van belőlük, de azt is mondhatjuk, hogy a végtelenségük nagyobb, mint a legegyszerűbbeké, amelyben számolunk: egy, kettő, három, négy ... és így tovább ∞-ig. Ez a mi emberi „lyukak” kitöltése. Ezt a mentális struktúrát onnan örököltük pythagoreusok. 

De ami érdekes és fontos egy matematikus számára, az az, hogy ezeket a lyukakat nem lehet "megtölteni" irracionális és p-adikus számokkal (minden p prímre). Azoknak az olvasóknak, akik értik ezt (és ezt harminc éve minden középiskolában tanították), a lényeg az, hogy minden sorozat, amely kielégít Cauchy állapota, konvergál.

Azt a teret, amelyben ez igaz, teljesnek nevezzük ("semmi sem hiányzik"). Emlékszem az 547721051611007740081787109376 számra.

A 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 és így tovább sorozat egy bizonyos határértékhez konvergál, ami körülbelül 0,5477210516110077400 81787109376.

A 10-adikus távolság szempontjából azonban a 6-os, 76-os, 376-os, 9376-os, 109376-os, 7109376-os stb. számsor is a "furcsa" számhoz... 547721051 611007740081787109376 konvergál.

De lehet, hogy még ez sem elég ok arra, hogy közpénzt adjunk a tudósoknak. Általában mi (matematikusok) azzal védekezünk, hogy lehetetlen megjósolni, mire lesz hasznos kutatásunk. Szinte biztos, hogy mindenkinek haszna lesz, és csak széles fronton van esély a sikerre.

Az egyik legnagyobb találmány, a röntgengép a radioaktivitás véletlen felfedezése után jött létre Bekkerela. Ha nem ez az eset, sok éves kutatás valószínűleg haszontalan lett volna. "Módot keresünk, hogy röntgenfelvételt készítsünk az emberi testről."

Végül a legfontosabb. Mindenki egyetért abban, hogy az egyenletek megoldásának képessége szerepet játszik. És itt a furcsa számaink jól védettek. A megfelelő tétel (Utálom Minkowskit) azt mondja, hogy egyes egyenletek akkor és csak akkor oldhatók meg racionális számokban, ha minden -adikus testben valódi gyökök és gyökerek vannak.

Többé-kevésbé ezt a megközelítést bemutatták Andrew Wiles, amely az elmúlt háromszáz év leghíresebb matematikai egyenletét oldotta meg - ajánlom az olvasóknak, hogy írják be a keresőbe "Fermat utolsó tétele".