Fordított báj

Sok szó esik az „ellentétek varázsáról”, és nem csak a matematikában. Ne feledje, hogy az ellentétes számok azok, amelyek csak előjelben különböznek: plusz 7 és mínusz 7. Az ellentétes számok összege nulla. De nekünk (azaz matematikusoknak) a reciprok érdekesebbek. Ha a számok szorzata 1, akkor ezek a számok fordítottak egymással. Minden számnak megvan az ellentéte, minden nem nulla számnak megvan az inverze. A reciprok reciproka a mag.

Az inverzió ott történik, ahol két mennyiség összefügg egymással, így ha az egyik nő, a másik megfelelő mértékben csökken. A "releváns" azt jelenti, hogy ezen mennyiségek szorzata nem változik. Emlékszünk az iskolából: ez fordított arány. Ha kétszer gyorsabban akarok célba érni (azaz felére csökkentem az időt), meg kell dupláznom a sebességemet. Ha egy lezárt gáztartály térfogatát n-szeresére csökkentjük, akkor nyomása n-szeresére nő.

Az alapfokú oktatásban gondosan különbséget teszünk a differenciális és a relatív összehasonlítás között. "Mennyivel többet"? – Hányszor többet?

Íme néhány iskolai tevékenység:

1 feladat. A két pozitív érték közül az első 5-ször nagyobb, mint a második, és ugyanakkor 5-ször nagyobb, mint az első. Mik a méretek?

2 feladat. Ha az egyik szám 3-mal nagyobb, mint a második, a második pedig 2-vel nagyobb, mint a harmadik, mennyivel nagyobb az első szám, mint a harmadik? Ha az első pozitív szám kétszerese a másodiknak, és az első szám háromszorosa a harmadiknak, hányszor nagyobb az első szám a harmadiknál?

3 feladat. A 2. feladatban csak természetes számok megengedettek. Lehetséges-e az ott leírt elrendezés?

4 feladat. A két pozitív érték közül az első a második ötszöröse, a második pedig az első ötszöröse. Lehetséges?

Az „átlagos” vagy „átlagos” fogalma nagyon egyszerűnek tűnik. Ha hétfőn 55 km-t, kedden 45 km-t, szerdán 80 km-t bicikliztem, akkor átlagosan napi 60 km-t tekertem. Ezekkel a számításokkal teljes mértékben egyetértünk, bár kicsit furcsák, mert nem mentem 60 km-t egy nap alatt. Ugyanilyen könnyen elfogadjuk az ember részesedését is: ha hat napon belül kétszázan látogatnak el egy étterembe, akkor az átlagos napidíj 33 és egyharmad fő. HM!

Csak az átlagos mérettel vannak gondok. szeretek biciklizni. Így hát kihasználtam a "Menjünk velünk" utazási iroda ajánlatát - ők szállítják ki a csomagokat a szállodába, ahol az ügyfél szabadidős céllal biciklizik. Pénteken négy órát vezettem: az első kettőt 24 km/órás sebességgel. Aztán annyira elfáradtam, hogy a következő kettőben már csak 16 óránként. Mennyi volt az átlagsebességem? Természetesen (24+16)/2=20km=20km/h.

Szombaton viszont a szállodában hagyták a csomagokat, és elmentem megnézni a 24 km-re lévő várromot, és miután megláttam, visszatértem. Egy órát vezettem egy irányba, lassabban tértem vissza, 16 km-es óránkénti sebességgel. Mekkora volt az átlagos sebességem a szálloda-kastély-szálloda útvonalon? 20 km/óra? Természetesen nem. Végül is összesen 48 km-t mentem, és egy óra („oda”) és másfél óra vissza. 48 km két és fél óra alatt, i.e. óra 48/2,5=192/10=19,2 km! Ebben a helyzetben az átlagsebesség nem a számtani átlag, hanem az adott értékek harmonikusa:

és ez a kétszintes képlet a következőképpen olvasható: a pozitív számok harmonikus közepe a reciproka számtani középértékének reciproka. A reciprok összegének reciprokja sok iskolai feladatkórusban megjelenik: ha az egyik munkás órákat, a másik b órát ás, akkor együtt dolgozva időben kotorászik. vizes medence (egy óránként, másik b óránként). Ha az egyik ellenálláson R1, a másikon R2 van, akkor párhuzamos ellenállással rendelkeznek. 

Ha egy számítógép másodpercek alatt képes megoldani egy problémát, egy másik számítógép b másodperc alatt, akkor amikor együtt dolgoznak...

Álljon meg! Itt véget is ér a hasonlat, mert minden a hálózat sebességétől függ: a kapcsolatok hatékonyságától. A dolgozók akadályozhatják vagy segíthetik is egymást. Ha egy ember nyolc óra alatt képes kutat ásni, akkor nyolcvan munkás meg tudja csinálni 1/10 óra (vagy 6 perc) alatt? Ha hat hordár 6 perc alatt felviszi a zongorát az első emeletre, mennyi idő alatt szállítja egyikük a zongorát a hatvanadik emeletre? Az ilyen problémák abszurditása azt a tényt juttatja eszünkbe, hogy minden matematika korlátozottan alkalmazható „életből jövő” feladatokra.

Egy erős eladóról 

A mérleget már nem használják. Emlékezzünk vissza, hogy az ilyen mérlegek egyik edényére súlyt helyeztek, a másikra a mérendő árut, és amikor a súly egyensúlyban volt, akkor az áru súlya annyi volt, mint a súly. Természetesen a súlyterhelés mindkét karjának egyforma hosszúságúnak kell lennie, különben a mérés hibás lesz.

Ó igaz. Képzeljen el egy eladót, akinek súlya egyenlőtlen tőkeáttétellel. Ő azonban őszinte akar lenni a vásárlókkal, és két tételben méri le az árut. Először az egyik serpenyőre súlyt helyez, a másikra pedig megfelelő mennyiségű árut - hogy a mérleg egyensúlyban legyen. Ezután fordított sorrendben leméri az áru második „ felét”, vagyis a második tálra a súlyt, az elsőre az árut helyezi. Mivel a kezek nem egyenlőek, a "felek" soha nem egyenlők. Az eladó lelkiismerete pedig tiszta, a vásárlók pedig az őszinteségét dicsérik: "Amit itt eltávolítottam, azt aztán hozzátettem."

Nézzük azonban meg közelebbről annak az eladónak a viselkedését, aki a bizonytalan súly ellenére őszinte akar lenni. Legyen a mérleg karjainak a és b hosszúsága. Ha az egyik tálba kilogramm súllyal, a másikba x áruval van megtöltve, akkor a mérleg akkor van egyensúlyban, ha először ax = b, másodszor pedig bx = a. Tehát az áru első része egyenlő b / a kilogrammal, a második rész a / b. A jó súlynak a = b értéke van, így a vevő 2 kg árut kap. Nézzük meg, mi történik, ha a ≠ b. Ekkor a – b ≠ 0 és a redukált szorzási képletből megkapjuk

Váratlan eredményre jutottunk: a mérés "átlagolásának" tisztességesnek tűnő módszere ebben az esetben a vevő javára válik, aki több áruhoz jut.

5. feladat. (Fontos, semmiképpen sem a matematikából!). Egy szúnyog 2,5 milligrammot, egy elefánt pedig öt tonnát nyom (ez teljesen korrekt adat). Számítsa ki a szúnyog- és elefánttömegek (súlyok) számtani, geometriai és harmonikus átlagát! Ellenőrizze a számításokat, és nézze meg, van-e értelme a számtani feladatokon kívül. Nézzünk más példákat olyan matematikai számításokra, amelyeknek nincs értelme a „való életben”. Tipp: Ebben a cikkben már megvizsgáltunk egy példát. Ez azt jelenti, hogy egy névtelen diáknak, akinek a véleményét az interneten találtam, igaza volt: „A matematika megbolondítja az embereket a számokkal”?

Igen, egyetértek azzal, hogy a matematika nagyszerűségében „becsaphatja” az embereket - minden második samponreklám azt mondja, hogy bizonyos százalékkal növeli a pelyhességet. Keressünk más példákat a mindennapi hasznos eszközökre, amelyek felhasználhatók bűnözéshez?

Gram!

Ennek a résznek a címe ige (többes szám első személyű), nem pedig főnév (egy ezred kilogramm névelő többes száma). A harmónia rendet és zenét jelent. Az ókori görögöknél a zene a tudomány egyik ága volt – el kell ismerni, hogy ha így mondjuk, akkor a „tudomány” szó jelenlegi jelentését a mi korszakunk előtti időkre helyezzük át. Pythagoras a Kr.e. XNUMX. században élt. Nemcsak hogy nem ismerte a számítógépet, a mobiltelefont és az e-mailt, de azt sem tudta, kik Robert Lewandowski, I. Mieszko, Nagy Károly és Cicero. Nem ismerte sem az arab, de még csak a római számokat sem (az ie XNUMX. század körül kerültek használatba), nem tudta, mi a pun háború... De a zenét ismerte...

Tudta, hogy a vonós hangszereken a rezgési együtthatók fordítottan arányosak a húrok rezgő részeinek hosszával. Tudta, tudta, csak nem tudta úgy kifejezni, ahogy ma tesszük.

Az oktávot alkotó két húrrezgés frekvenciája 1:2 arányú, vagyis a magasabb hang frekvenciája kétszerese az alsó hangjának. A kvint megfelelő rezgési aránya 2:3, a negyed 3:4, a tiszta nagy terc 4:5, a kisebb terc 5:6. Ezek kellemes mássalhangzó hangközök. Aztán van két semleges, 6:7 és 7:8 rezgésaránnyal, majd disszonánsok - egy nagy hang (8:9), egy kicsi hang (9:10). Ezek a törtek (arányok) olyanok, mint egy sorozat egymást követő tagjainak arányai, amelyeket a matematikusok (éppen ezért) harmonikus sorozatnak neveznek:

elméletileg végtelen összeg. Az oktáv oszcillációinak arányát 2:4-re írhatjuk fel, és tegyünk közéjük egy kvint: 2:3:4, vagyis az oktávot kvintre és negyedre osztjuk. Ezt a matematikában harmonikus szegmensosztásnak nevezik:

Rizs. 1. Zenésznek: az AB oktáv felosztása az ötödik AC-re.Matematikusnak: Harmonikus szegmentáció

Mit értek azon, amikor (fent) egy elméletileg végtelen összegről beszélek, például a harmonikus sorozatról? Kiderül, hogy egy ilyen összeg tetszőleges nagy szám lehet, a lényeg, hogy sokáig adjuk hozzá. Egyre kevesebb az alapanyag, de egyre több. Mi érvényesül? Itt belépünk a matematikai elemzés birodalmába. Kiderült, hogy az összetevők kimerültek, de nem túl gyorsan. Megmutatom, hogy elegendő alapanyag bevitelével összefoglalhatom:

önkényesen nagy. Vegyük „például” n = 1024-et. Csoportosítsuk a szavakat az ábrán látható módon:

Minden zárójelben minden szó nagyobb, mint az előző, kivéve természetesen az utolsót, amely önmagával egyenlő. A következő zárójelben 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 és 512 komponens található; a zárójelben szereplő összeg értéke nagyobb, mint ½. Mindez több mint 5½. Pontosabb számítások azt mutatnák, hogy ez az összeg körülbelül 7,50918. Nem sokat, de mindig, és láthatod, hogy ha bármilyen nagyot veszünk, akkor bármelyik számot felülmúlhatom. Ez hihetetlenül lassú (például csak az összetevőkkel vagyunk az első tízben), de a végtelen növekedés mindig is lenyűgözte a matematikusokat.

Utazás a végtelenbe a harmonikus sorozattal

Íme egy rejtvény néhány elég komoly matematikához. Korlátlan kínálatunk van téglalap alakú blokkokból (mit mondjak, téglalap alakú!), amelyek mérete mondjuk 4 × 2 × 1. Tekintsünk egy rendszert, amely többből áll ábra. 2 - négy) blokk, úgy elrendezve, hogy az első hosszának felével, a második felülről ¼-al és így tovább, a harmadik egyhatodával dőljön. Nos, talán, hogy valóban stabil legyen, az első téglát kicsit kevésbé döntsük meg. Számításoknál ez nem számít.

Rizs. 2. A súlypont meghatározása

Az is könnyen érthető, hogy mivel az első két blokkból összeállított alakzatnak (felülről számolva) van szimmetriaközéppontja a B pontban, ezért B a súlypont. Határozzuk meg geometriailag a három felső blokkból összeállított rendszer súlypontját. Itt elég egy nagyon egyszerű érv. Gondolatban osszuk fel a három blokkból álló kompozíciót két felsőre és egy harmadik alsóra. Ennek a középpontnak a két rész súlypontját összekötő szakaszon kell feküdnie. Ennek az epizódnak melyik pontján?

A kijelölésnek két módja van. Az elsőben azt a megfigyelést használjuk, hogy ennek a középpontnak a háromblokkos piramis közepén kell elhelyezkednie, vagyis a második, középső blokkot metsző egyenesen. A második módon azt értjük, hogy mivel a két felső blokk össztömege kétszerese egyetlen 3-as (felső) blokk tömegének, ezen a szakaszon a súlypontnak kétszer olyan közel kell lennie B-hez, mint a középponthoz. A harmadik blokk S. Hasonlóan megtaláljuk a következő pontot: a három blokk talált középpontját összekötjük a negyedik blokk S középpontjával. Az egész rendszer közepe a 2. magasságban van, és azon a ponton, amely a szakaszt 1-től 3-ig osztja (azaz a hosszának ¾-ével).

A számítások, amelyeket egy kicsit tovább fogunk végezni, az ábrán látható eredményhez vezetnek. 3. ábra. Az egymást követő súlypontok eltávolítása az alsó blokk jobb széléről a következőképpen történik:

Így a piramis súlypontjának vetülete mindig az alapon belül van. A torony nem fog feldőlni. Most pedig nézzük ábra. 3 és egy pillanatra használjuk a felülről az ötödik blokkot alapnak (a világosabb színnel jelöltet). Felső dőlésszögű:

így a bal széle 1-gyel távolabb van az alap jobb szélétől. Íme a következő lendület:

Mi a legnagyobb kilengés? Már tudjuk! Nincs a legnagyobb! A legkisebb blokkokat is figyelembe véve egy kilométeres túlnyúlás érhető el - sajnos csak matematikailag: az egész Föld nem lenne elég ennyi blokk megépítéséhez!

Rizs. 3. Adjon hozzá további blokkokat

Most a számításokat, amelyeket fent hagytunk. Minden távolságot "vízszintesen" fogunk kiszámolni az x tengelyen, mert ez minden. Az A pont (az első blokk súlypontja) 1/2-re van a jobb széltől. A B pont (a két blokk rendszerének közepe) 1/4-re van a második blokk jobb szélétől. Legyen a kezdőpont a második blokk vége (most továbblépünk a harmadikra). Például hol van a 3. számú blokk súlypontja? A blokk hosszának fele tehát 1/2 + 1/4 = 3/4 a referenciapontunktól. Hol van a C pont? A 3/4 és 1/4 közötti szakasz kétharmadában, azaz az előtte lévő pontban a referenciapontot a harmadik blokk jobb szélére változtatjuk. A háromblokkos rendszer súlypontja most el lett távolítva az új referenciaponttól, és így tovább. Súlypont C_n egy n blokkból álló torony 1/2n távolságra van a pillanatnyi vonatkoztatási ponttól, amely az alaptömb jobb széle, azaz felülről az n-edik blokk.

Mivel a reciprok sorozata eltér, bármilyen nagy eltérést kaphatunk. Ezt valóban meg lehet valósítani? Olyan, mint egy végtelen téglatorony – előbb-utóbb összedől a saját súlya alatt. Sémánkban a blokk elhelyezésének minimális pontatlansága (és a sorozatok részösszegeinek lassú növekedése) azt jelenti, hogy nem jutunk messzire.