Egyenletek, kódok, rejtjelek, matematika és költészet

Michal Shurek így vall magáról: „1946-ban születtem. 1968-ban végeztem a Varsói Egyetemen, azóta a Matematikai, Informatikai és Mechanikai Karon dolgozom. Tudományos szakirány: algebrai geometria. Nemrég vektorkötegekkel foglalkoztam. Mi az a vektornyaláb? Tehát a vektorokat szorosan össze kell kötni egy cérnával, és máris van egy csomó. Anthony Sim fizikus barátom rávett, hogy csatlakozzam a Young Technicianhez (bevallja, hogy jogdíjat kellene kapnia a díjaimból). Írtam néhány cikket, aztán maradtam, és 1978 óta minden hónapban elolvashatod, mit gondolok a matematikáról. Szeretem a hegyeket, és túlsúlyom ellenére igyekszem sétálni. Szerintem a tanárok a legfontosabbak. A politikusokat, bármilyen lehetőségük van is, szigorúan őrzött területen tartanám, hogy ne tudjanak elmenekülni. Takarmány naponta egyszer. Egy tuleki beagle kedvel engem.

Az egyenlet olyan, mint egy rejtjel egy matematikus számára. Az egyenletek megoldása, a matematika kvintesszenciája, a rejtjelezett szöveg olvasása. Ezt a teológusok már a XNUMX. század óta észrevették. János Pál, aki ismerte a matematikát, ezt többször is megírta és megemlítette prédikációiban – sajnos a tények kitörölték az emlékezetemből.

Az iskolatudományban képviselve van Püthagorasz mint a tétel szerzője valamely derékszögű háromszögbeli függőségről. Így vált eurocentrikus filozófiánk részévé. Pedig Pythagorasnak sokkal több erénye van. Ő rótta rá tanítványaira azt a kötelességet, hogy "ismerjék a világot", abból, hogy "mi van e domb mögött?" mielőtt a csillagokat tanulmányozná. Ezért "fedezték fel" az európaiak az ősi civilizációkat, és nem fordítva.

Néhány olvasó emlékezikViète mintákés"; sok idősebb olvasó emlékszik magára a kifejezésre az iskolából, és megközelítőleg arra a tényre, hogy a kérdés másodfokú egyenletekben jelent meg. Ezek a törvényszerűségek „ideológiailag” Titkosítás információ.

Nem csoda, hogy egy Francois Viet (1540-1603) IV. Henrik (az első francia király a Bourbon-dinasztiából, 1553-1610) udvarában titkosírással foglalkozott, és sikerült feltörnie a britek által a Franciaországgal vívott háborúban használt titkosítást. Tehát ugyanazt a szerepet játszotta, mint a lengyel matematikusok (Marian Rejewski vezetésével), akik a második világháború előtt felfedezték a német Enigma titkosítógép titkait.

divat téma

Pontosan. A "kódok és rejtjelek" téma régóta divatos a tanításban. Erről már többször írtam, és két hónap múlva újabb sorozat lesz. Ezúttal az 1920-as háborúról szóló film benyomása alatt írok, ahol a győzelem nagyrészt annak köszönhető, hogy az akkor még fiatal csapat által vezetett csapat megszegte a bolsevik csapatok törvénykönyvét. Václav Serpinsky (1882-1969). Nem, ez még nem Enigma, ez csak egy bevezető. Emlékszem egy jelenetre a filmből, ahol Józef Piłsudski (akit Daniil Olbrychski alakít) azt mondja a titkosítási osztály vezetőjének:

A dekódolt üzenetek fontos üzenetet hordoztak: Tuhacsevszkij csapatai nem kapnak támogatást. Lehet támadni!

Ismertem Vaclav Sierpinskit (ha szabad így mondani: fiatal diák voltam, ő híres professzor volt), jártam előadásaira, szemináriumaira. Elsorvadt tudós benyomását keltette, szórakozott, fegyelmezettségével van elfoglalva, és nem látja a másik világot. Kifejezetten a táblával szemben tartott előadást, nem a hallgatóságra nézve... de kiváló szakembernek érezte magát. Így vagy úgy, bizonyos matematikai képességekkel rendelkezett – például a problémák megoldásához. Vannak mások is – olyan tudósok, akik viszonylag rosszul oldják meg a rejtvényeket, de mélyen ismerik az egész elméletet, és képesek a kreativitás egész területeit elindítani. Mindkettőre szükségünk van – bár az első gyorsabban fog haladni.

Vaclav Sierpinski soha nem beszélt 1920-ban elért eredményeiről. 1939-ig ezt mindenképpen titokban kellett tartani, 1945 után pedig a Szovjet-Oroszországgal harcolók nem élvezték az akkori hatalom rokonszenvét. Meggyőződésem, hogy a tudósokra szükség van, akárcsak egy hadseregre, bebizonyosodott: "minden esetre". Íme, Roosevelt elnök felhívja Einsteint:

A kiváló orosz matematikus, Igor Arnold nyíltan és szomorúan mondta, hogy a háború nagy hatással volt a matematika és a fizika (a radar és a GPS is katonai eredetű) fejlődésére. Nem megyek bele az atombomba használatának erkölcsi aspektusába: itt van a háború meghosszabbítása egy évre és több millió saját katona halála - ott van az ártatlan civilek szenvedése.

***

Ismerős területekre menekülök – k. Sokan játszottunk a kódokkal, talán cserkészettel, talán csak úgy. Az egyszerű rejtjelek, amelyek a betűk más betűkkel vagy más számokkal való helyettesítésének elvén alapulnak, rutinszerűen megszakadnak, ha csak néhány nyomot kapunk (például kitaláljuk a király nevét). A statisztikai elemzés ma is segít. Rosszabb, ha minden változtatható. De a legrosszabb az, ha nincs rendszeresség. Tekintsük a Jó katona Schweik kalandjaiban leírt kódot. Vegyünk például egy könyvet: Az özönvíz. Íme az első és a második oldalon található javaslatok.

A "CAT" szót szeretnénk kódolni. Az 1. oldalon és a következő másodpercben nyitunk. Azt tapasztaljuk, hogy az 1. oldalon a K betű először az 59. helyen szerepel. Az ötvenkilencedik szót az ellenkező oldalon, a másik oldalon találjuk. Ez egy "a" szó. Most az O betű. A bal oldalon a 16. szó, a tizenhatodik pedig a jobb oldalon: "Mr." A T betű a 95. helyen áll, ha jól számoltam, jobbról a kilencvenötödik szó pedig az "o". Tehát, MACSKA = 1 ÚR O.

„Kitalálhatatlan” titkosítás, bár fájdalmasan lassú mind a titkosításhoz, mind a találgatásokhoz. Tegyük fel, hogy át akarjuk adni az M betűt. Ellenőrizhetjük, hogy kódoljuk-e a "Wołodyjowski" szóval. Utánunk pedig már börtöncellát készítenek. Csak cserére számíthatunk! Ezenkívül a kémelhárítás feljegyzi a titkos alkalmazottak beszámolóit, amelyek szerint a vásárlók egy ideje készségesen megveszik Az özönvíz első kötetét.

Cikkem ehhez a tézishez járul hozzá: a matematikusok legfurcsább ötletei is alkalmazhatók egy széles körben értelmezett gyakorlatban. Például elképzelhető-e egy kevésbé hasznos matematikai felfedezés, mint a ... 47-tel oszthatóság tesztje?

Mikor van rá szükségünk az életben? És ha igen, akkor könnyebb lesz megpróbálni szétválasztani. Ha oszt, akkor jó, ha nem, akkor ... másodsorban jó (tudjuk, hogy nem oszt).

Hogyan kell megosztani és miért

E bevezető után térjünk át a következőre: Ismeritek ti, olvasók az oszthatóság jeleit? Egyértelműen. A páros számok 2-re, 4-re, 6-ra, 8-ra vagy nullára végződnek. Egy szám akkor osztható hárommal, ha számjegyeinek összege osztható hárommal. Hasonlóképpen a kilenccel való oszthatóság előjelével a számjegyek összegének oszthatónak kell lennie kilenccel.

Kinek van szüksége rá? Hazudnék, ha meggyőzném az Olvasót, hogy másra is jó, mint... iskolai feladatokra. Nos, és a 4-gyel oszthatóság egy másik jellemzője (és mi ez, Olvasó? Talán akkor fogja használni, amikor tudni szeretné, melyik évre esik a következő olimpia...). De a 47-tel oszthatóság jellemzője? Ez már fejfájás. Megtudjuk valaha, hogy valami osztható-e 47-tel? Ha igen, akkor vegyen egy számológépet és nézze meg.

Ez. Igazad van, Olvasó. És mégis, olvass tovább. Kérem.

A 47-tel oszthatóság jele: A 100+ akkor és csak akkor osztható 47-tel, ha a 47 osztható +8-cal.

A matematikus elégedetten mosolyog: "Jó, csinos." De a matematika az matematika. A bizonyíték számít, mi pedig odafigyelünk szépségére. Hogyan bizonyítsuk a tulajdonságunkat? Ez nagyon egyszerű. Vonja ki 100-ból + a 94-ből 47 = 47 (2 -). 100+-94+47=6+48=6(+8) kapjuk.

Kivontunk egy számot, amely osztható 47-tel, tehát ha 6 (+ 8) osztható 47-tel, akkor 100 + is osztható. De a 6-os szám viszonylag prím 47-hez képest, ami azt jelenti, hogy 6 (+ 8) akkor és csak akkor osztható 47-tel, ha + 8. A bizonyítás vége.

Lássuk Néhány példa.

8805685 osztható 47-tel? Ha tényleg érdekel minket, hamarabb megtudjuk, ha úgy osztunk szét, ahogy az általános iskolában tanítottak. Így vagy úgy, de ma már minden mobiltelefonban van számológép. Megosztott? Igen, privát 187355.

Nos, lássuk, mit mond nekünk az oszthatóság jele. Az utolsó két számjegyet leválasztjuk, megszorozzuk 8-cal, az eredményt hozzáadjuk a „csonka számhoz”, és ugyanezt tesszük a kapott számmal.

8805685 → 88056 + 8 = 85 88736 → 887 + 8 = 36 → 1175 + 11 = 8 → 75 + 611 = 6.

Látjuk, hogy a 94 osztható 47-tel (a hányados 2), ami azt jelenti, hogy az eredeti szám is osztható. Bírság. De mi van, ha továbbra is szórakozunk?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Most meg kell állnunk. A negyvenhét osztható 47-tel, igaz?

Tényleg meg kell állnunk? Mi van, ha tovább megyünk? Istenem, bármi megtörténhet... kihagyom a részleteket. Talán csak a kezdet:

47 → 0 + 8 · 47 = 376 → 3 + 8 · 76 = 611 → 6 + 8 · 11 = 94 → 0 + 8 · 94 = 752.

De sajnos olyan függőséget okoz, mint a magvak rágása...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

Ó, negyvenhét. Korábban történt. Mi a következő lépés? . Azonos. A számok a következőképpen mennek körbe:

Nagyon érdekes. Annyi hurok.

két következő példákat.

Azt akarjuk tudni, hogy 10017627 osztható-e 47-tel. Miért van szükségünk erre a tudásra? Emlékszünk az elvre: jaj a tudásnak, amely nem segíti a tudót. A tudás mindig ott van valamiben. Valamiért lesz, de most nem magyarázom el. Még néhány fiók:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

– A nagybátyját baltából botra változtatta. Mit kapunk mindebből?

Nos, ismételjük meg az eljárás menetét. Vagyis továbbra is ezt fogjuk csinálni (vagyis az „iterálás” szót).

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Állítsuk meg a játékot, osszuk, mint az iskolában (vagy számológépen): 235 = 5 47. Bingo. Az eredeti 10017627 szám osztható 47-tel.

Szép munka!

Mi van, ha tovább megyünk? Bízzon bennem, megnézheti.

És még egy érdekes tény. Azt akarjuk ellenőrizni, hogy 799 osztható-e 47-tel. Az oszthatósági függvényt használjuk. Az utolsó két számjegyet leválasztjuk, a kapott számot megszorozzuk 8-cal, és hozzáadjuk a maradékhoz:

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.

Amink van? 799 akkor és csak akkor osztható 47-tel, ha 799 osztható 47-tel? Igen, ez így van, de ehhez nem kell matek!!! Az olaj olajos (legalábbis ez az olaj olajos).

A levélről, a kalózokról és a viccek végéről!

Még két történet. Hol a legjobb hely elrejteni egy levelet? A válasz egyértelmű: az erdőben! De akkor hogyan lehet megtalálni?

A másodikat a kalózokról szóló könyvekből ismerjük, amelyeket nagyon régen olvastunk. A kalózok térképet készítettek arról a helyről, ahol elásták a kincset. Mások vagy ellopták, vagy megnyerték a harcot. De a térképen nem volt feltüntetve, hogy melyik szigetre szánták. És keresd magad! Természetesen a kalózok megbirkóztak ezzel (kínvallatással) - a titkosítások, amelyekről beszélek, ilyen módszerekkel is kinyerhetők.

Vége a vicceknek. Olvasó! Rejtjelet készítünk. Titkos kém vagyok, és a "Junior Technician"-t használom kapcsolattartóként. Továbbítsa nekem a titkosított üzeneteket az alábbiak szerint.

Először alakítsa át a szöveget számsorrá a kód segítségével: AB CDEFGH IJ KLMN ON RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Amint láthatja, nem használunk lengyel diakritikus jeleket (azaz ą, ę, ć, ń, ó, ś nélkül) és nem lengyel q, v jeleket, de a nem lengyel x minden esetre ott van. Tegyünk még 25-öt szóközként (szóközként). Ó, a legfontosabb. A 47-es kódot kérjük alkalmazni.

Tudod az mit jelent. Elmész egy matematikus barátodhoz.

A barát szeme elkerekedett a meglepetéstől.

Büszkén válaszolsz:

Egy matematikus felruházza Önt ezzel a tulajdonsággal... és már tudja, hogy egy nem feltűnő függvényt használnak a titkosításhoz

mert egy ilyen minta egy leírt cselekvés

100+→+8.

Tehát, ha tudni szeretné, mit jelent egy szám, például a 77777777 egy titkosított üzenetben, használja a funkciót.

100+→+8

amíg egy 1 és 25 közötti számot nem kap. Most nézze meg az explicit alfanumerikus kódot. Lássuk: 77777777 →… Ezt feladatként rád bízom. De nézzük, mit rejt a 48-as betű? Olvassunk:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Aztán sorra kapjuk:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432…

A vég nem látszik. Csak a hatvanadik (!) időpont után jelenik meg a 25-nél kisebb szám, ami 3, vagyis a 48 a C betű.

És mit ad nekünk ez az üzenet? (Emlékeztetném, hogy a 47-es kódszámot használjuk):

80-152-136-546-695719-100-224-555-412-111-640-102-152-12881-444 77777777-59-408 373 1234567-341-XNUMX-XNUMX-XNUMX-XNUMX-XNUMX

Nos, gondoljon bele, mi olyan bonyolult, néhány fiók. Elkezdtük. 80 eleje. Ismert szabály:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Így folytatódik:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Eszik! Az üzenet első betűje K. Phew, könnyű, de mennyi ideig tart?

Lássuk azt is, mekkora gondunk van a 1234567-es számmal. Csak a tizenhatodik alkalommal kapunk 25-nél kisebb számot, mégpedig 12-t. Tehát 1234567 L.

Oké, mondhatnánk, de ez az aritmetikai művelet annyira egyszerű, hogy számítógépen történő programozása azonnal feltöri a kódot. Igen ez igaz. Ezek egyszerű számítógépes számítások. ötlet -val nyilvános titkosítás és arról is van szó, hogy megnehezítjük a számításokat a számítógép számára. Hagyja működni legalább száz évig. Dekódolja az üzenetet? Nem számít. Sokáig nem lesz jelentősége. A nyilvános titkosítások (többé-kevésbé) erről szólnak. Eltörhetnek, ha nagyon hosszú ideig dolgozol... amíg a hírek már nem relevánsak.

 mindig is "ellenfegyvereket" szült. Az egész karddal és pajzzsal kezdődött. A titkosszolgálatok hatalmas összegeket fizetnek tehetséges matematikusoknak, hogy olyan titkosítási módszereket találjanak ki, amelyeket a számítógépek (beleértve az általunk készítetteket is) nem lesznek képesek feltörni a XNUMX. században.

huszonkettedik század? Nem is olyan nehéz tudni, hogy már sok ember él a világon, aki ebben a gyönyörű évszázadban élni fog!

Ó, mi? Mi van, ha megkérek (én, a „Fiatal Technikus” által megkeresett titkostisztet) a 23-as kódszámmal történő titkosításra? vagy 17? Egyszerű:

Soha ne kelljen a matematikát ilyen célokra használnunk.

***

A cikk címe a költészetről szól. Mi köze neki ehhez?

Mint micsoda? A költészet a világot is titkosítja.

Hogyan?

Módszereik szerint - hasonlóan az algebraihoz.